Polígonos regulares

Ao medir as diagonais de um polígono regular foram encontradas 6 medidas, duas a duas diferentes. Determine a soma dos ângulos internos desse polígono.




Desde já agradeço!!!

d = n*(n - 3)/2

6k = (n² - 3n)/2

n² - 3n - 12k = 0

Discriminante: ∆ = (-3)² - 4*1*(-12k) ----> ∆ = 9 + 48k

∆ deve ser quadrado perfeito ---> k = 9 ----> ∆ = 9 + 9k ----> ∆ = 9*(1 + 48) ----> ∆ = 9*49 ----> ∆ = 21

n = (3 + - 21)/2 ----> n = 12 ----> dodecágono

S = 180º*(n - 2) ---> S = 180º*(12 - 2) -----> S = 1800º

Boa noite Mestre, por que o ∆ deve ser quadrado perfeito?

Obrigada pela resolução!

Mestre no gabarito está 2160° ou 2340° .

1) Se não for quadrado perfeito o número de lados n não será inteiro

2) Ou o gabarito está errado ou então minha interpretação do enunciado está errada:

Para S = 2160 ---> n = 14
Para S = 2340 ----> n = 15

Não consigo entender o porque desta resposta!!!

Mestre Elcio, consegui entender a questão. A partir das fórmulas que obtém a quantidade de medidas diferentes das diagonais : n-2/2 (n° par de lados) e n-3/2 ( n° ímpar de lados), achamos n=14 para a primeira e n=15 para a segunda.

Upp, alguém poderia postar uma solução mais clara?
Obrigado

Alguém poderia postar uma solução mais clara dessa questão? N consigo resolvê-la.

Para um polígono regular com número par de lados, partindo de um vértice, haverá uma diagonal que o dividirá ao meio, e para cada diagonal acima desta haverá uma simetricamente disposta abaixo. Existem n - 3 diagonais que partem de cada vértice, mas precisamos retirar essa de tamanho exclusivo, portanto são n - 4 diagonais ao todo, excluindo a que divide o polígono ao meio, sendo que serão (n - 4)/2 tamanhos distintos de diagonais - há sempre duas de cada tamanho. Mas falta somar aquela de tamanho único, então serão (n - 4)/2 + 1 = (n - 2)/2 diagonais de tamanhos distintos.

Num polígono regular com número ímpar de lados não haverá essa diagonal que o divide ao meio, então basta dividirmos por dois o número total de diagonais que partem de um vértice, já que existem duas de cada tamanho: (n - 3)/2.

Agora já ficou tranquilo resolver a questão, basta considerar ambos os casos.