Área S do triângulo

por Dinheirow Dom 09 Set 2012, 14:27

Um lado de um triângulo ABC mede L cm. Os valores dos ângulos e dos lados do triângulo formam duas
progressões aritméticas. A área S desse triângulo é:

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por **Robson Jr.** Dom 09 Set 2012, 15:33

Se os ângulos do triângulo estão em PA, um deles necessariamente é 60º. Com efeito:

$\small (\theta - r)+\theta+(\theta+r)=180 \Rightarrow \theta=60º$

Temos um ângulo menor ou igual a 60º (60 - r) e outro maior ou igual a 60º (60 + r).

Se os lados em PA tiverem medidas x - t, x, x + t, o triângulo será tal que:

• (60 - r)º é oposto a x - t;
• 60º é oposto a x;
• (60 + r)º é oposto a x + t

Lei dos cossenos para o lado x:

$\small x^2=(x-r)^2+(x+r)^2-2(x-r)(x+r).cos(60º)\\ \Rightarrow \ x^2=x^2-2xr+r^2+x^2-2xr+r^2-x^2+r^2 \\ \Rightarrow \ r=0$

Portanto o triângulo é equilátero e, do enunciado, todos os lados valem L. A área do triângulo equilátero vale:

$\small {\color{Red} S=L^2\frac{\sqrt{3}}{4}}$

por Dinheirow Dom 09 Set 2012, 21:48

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