número complexo

por wstroks Qua 05 Set 2012, 11:48

No plano de argand-Gauss, um n´mero complexo z=x + iy , com x>0 e y> 0, o seu conjugado e a origem dos eixos coordenadas são os vertices de um triângulo equilátero. Se l z- número complexo Scaled.php?server=515&filename=15566116

l = 2 , então z^5 + 16 número complexo Scaled.php?server=515&filename=15566116

é igual a

por **Elcioschin** Qua 05 Set 2012, 19:24

Faça um desenho

1) O vetor z = x + yi no 1º quadrante
2) O vetor z' = x - yi no 4º quadrante

|z - z'| = |(x + yi) - (x - yi)| = |2yi| = 2y = 2 ----> y = 1

x = 2*cos30º ----> x = 2*(\/3/2) ----> x = \/3

z = \/3 + i ----> z = 2*(\/3/2 + i/2) ----> z = 2*(cos30º + i*sen30º)

z^5 = (2^5)*[cos(5*30º) + i*sen(5*30º)] -----> z^5 = 32*(cos150º + i*sen150º) ----> z^5 = 32*(-\/3/2 + i/2) ----> z^5 = - 16*\/3 + 16

z^5 + 16*z' = (-16*\/3 + 16i) + 16*(\/3 - i) ----> z^5 + 16*z' = 0

por lipoitvit Qui 06 Mar 2014, 14:56

mestre nao entendi so uma coisa ai, como achou o x? porque x=2cos30°? e porque modulo de 2yi=2y?

e tem como responder por radiciaçao?

por **Elcioschin** Qui 06 Mar 2014, 19:50

Desenhe um sistema xOy
Plote o ponto z(√3, 1) e desenhe o vetor OZ ----> |OZ| = √[(√3)² + 1²] = 2
Plote o ponto z'(√3, -1) e desenhe o vetor OZ' ---> |OZ'| = 2

Note que o ângulo entre o vetor z e o eixo x vale 30º, o mesmo acontecendo com z'

Veja que o triângulo OZZ' é equilátero (de lado 2) conforme enunciado

Note que y = 1 representa a parte imaginária de z

Viu porque x = 2.cos30º = 2.(√3/2) = √3 ?

2) w = a + bi ---> |w| = √(a² + b²)

Para a = 0 e b = 2y ---> w = 0 + 2yi ---> |w| = √[0² + (2y)²] ---> |w| = 2y

por lipoitvit Qui 06 Mar 2014, 20:37

eu entendi, valeu

por Jorge Mendes Qui 02 Out 2014, 01:13

Pelo fato de o argumento do complexo ser 30° este não teria que ter a forma polar :Z=cos30° + isen30° ou seja,Z=Cos√3/2 + isen1/2?
Como pode o complexo ser Z=√3 + i?