Equivalência de uma Expressão Trigonométrica

por Lord Enki Sáb 11 Ago 2012, 20:09

(UFRGS) Para todo x ∈ ℝ cosx senx + cosx ≠ 0, a expressão (sen³x + cos³x / senx cosx) + senx . cosx vale:

*A) 1
B) 2
C) 1 + senx cosx
D) senx
E) cosx

por **Elcioschin** Sáb 11 Ago 2012, 21:52

cosx.senx + cosx ≠ 0 ----> cosx(senx + 1) ≠ 0 ----> Duas possibilidades:

cosx ≠ 0 ----> x ≠ kpi/2
senx ≠ -1 ---> x ≠ (2k + 1)pi + pi/2 ----> x ≠ (4k + 3)*(pi/2)

sen³x + cos³x ............................ (senx + cosx)*(sen²x + cos²x - senx.cosx)
-------------------- + senx.cosx = ------------------------------------------------------------ + senx.cosx =
senx + cosx ...................................................... senx + cosx

= 1 - senx.cosx + senx.cosx = 1 ----> alternativa A

por Lord Enki Seg 13 Ago 2012, 11:36

Muito obrigado Elcioschin. Mas ainda tenho uma dúvida.

Entendi que, a partir do sen³x + cos³x, tiraste um (senx + cosx) . (sen²x + cos²x - senx ∙ cosx).

Daí, a partir da relação fundamental, entendi que a expressão como um todo ficou:

[(senx + cosx) ∙ (1 - senx ∙ cosx) / senx ∙ cosx] + senx ∙ cosx

Mas confesso que, a partir dos pontilhados, não consegui inferir por qual caminho chegamos a resposta final.

por **Elcioschin** Ter 14 Ago 2012, 17:27

1) Você copiou errado o denominador da 1ª expressão: o correto é senx + cosx (e não senx . cosx)

2) Não existe pontilhado na minha expressão: o tracejado é o traço de fração.

3) Próximo passo em negrito: sen²x + cos²x = 1

4) Próximo passo: simplificar (senx + cosx) no numerador e no denominador

5) Depois é só ir para a última linha

por Lord Enki Qua 15 Ago 2012, 16:40

Muito obrigado, mestre. De fato, o livro de onde tirei a questão está errado e, tendo como denominador da fração "senx + cosx", a resolução fica esclarecida.