Pontos Colineares

por Cesconetto Seg 16 Jul 2012, 13:35

Determinar na reta AB os pontos equidistantes dos eixos cartesianos.
Dados: A(-1 , 5)
B(4 , -2)

Gabarito:

Spoiler:

Olha, eu estou a procurando uma resolução com determinantes/distância entre pontos (sem que utilizasse equação da reta).

Eu acho que meu erro é meramente interpretação, pois pra mim só existe UM ponto nesta reta que equidista o eixo x e y. E seria o ponto médio do ponto M(x , 0) e N(0 , y) pertencentes a reta.

por **hygorvv** Seg 16 Jul 2012, 14:25

Como ele quer sobre a reta, imagino que teríamos que encontrar a equação da reta e fazer distância de ponto a reta.

PS: As distâncias dos pontos X(x,0) e Y(0,y), serão perpendicular a reta.

por **Jose Carlos** Seg 16 Jul 2012, 15:28

Tentei este raciocínio e embora tenha chegado à resposta dada não sei se está correto.

- reta que passa por A e B:

y = ( - 7/5 )x + ( 18/5 )

- ponto P( x0 , y0 ) -> P( x0 , (- 7/5)x + (18/5 ) )

para xo > 0 e y0 > 0:

distâncias iguais aos eixos coordenados -> x0 = ( - 7/5 )x0 + ( 18/5 )

x0 + (7/5)x0 = 18/5 => x0 = 3/2

y0 = (- 7/5 )*(3/2) + (18/5) -> y0 = 3/2

para x0 > 0 e y0 < 0:

x0 = (7/5)x0 - (18/5)

x0 = 9

y0 = ( - 7/5 )*9 + ( 18/5 ) -> y0 = - 9

para x0 <0 e y0 >0:

- x0 = (7/5)x0 + ( 18/5 )

- x0 - (7/5)x0 = 18/5 => x0 = - 3/2

y0 = ( - 7/5 )*( - 3/2 ) + ( 18/5 ) => y0 = - 57/10

x0 ≠ y0

logo:

P1( 3/2 , 3/2 ) e P2( 9 , - 9 )

por Cesconetto Seg 16 Jul 2012, 16:11

Essa questão eh do Capítulo I do livro do Gelson Iezzi, e Equação da Reta é o Capítulo II do mesmo. E como o autor é bem fiel ao assunto abordado, acredito que tal questão tenha uma saída sem a utilização da eq. da reta.

por **parofi** Seg 16 Jul 2012, 17:57

Olá:

Eu resolvi o problema de uma forma parecida à do José Carlos.

A distância de um ponto (x,y) ao eixo OX é |y|; a distância de (x,y) ao eixo OY é |x|.

Após determinarmos a equação da reta AB (y=-7/5x+18/5), vem:

|y|=|x|↔ |-7/5x+18/5|=|x|↔ -7/5x+18/5=x ou -7/5x+18/5=-x, o que dará x=3/2 e y=3/2 ou x=9 e y= -9. P1(3/2,3/2); P2(9,-9).

Um abraço.

por **Jose Carlos** Seg 16 Jul 2012, 18:09

- marque os pontos A e B no plano coordenado

- trace uma reta paralela ao eixo dos X passando por B

- trace uma reta paralela ao eixo dos Y paralela passando por A

- considere a interseção dessas duas retas como o ponto C

- seja o triângulo retângulo CAB

- marque no primeiro quadrante o ponto P0( x0 , y0 )

então podemos fazer:

x0 + 1......5 - y0
------- = -------
4 + 1...........7

7x0 + 5y0 = 18

x0 = y0 => 7x0 + 5x0 = 18 => x0 = 3/2 => y0 = 3/2e

- marque um ponto P1( x1 , y1 ) no segundo quadrante

5.................7
-------- = ----------
x1 + 1.........y1 + 5

5y1 + 25 = 7x1 + 7

x1 = - y1 -> 5y1 + 25 = 7y1 + 7

y1 = - 9 => x1 = 9

por Cesconetto Ter 17 Jul 2012, 01:48

Gostei da solução.
Obrigado, José Carlos.

por Vitao181 Ter 05 Nov 2013, 20:18

Estou revivendo o tópico pois também estou estudando por este livro e consegui realizar o exercício por matrizes.
Pense que para um ponto ser equidistante de ambos eixos, então ele tem que estar na bissetriz dos quadrantes ímpares e/ou pares.
A partir disto construa uma matriz assumindo que as coordenadas são iguais a (x,x) ou (x, -x) e desenvolva.
Abraços!

por **Elcioschin** Ter 05 Nov 2013, 21:42

Outra solução bem simples:

Equação da reta AB ----> 7x + 5y - 18 = 0

Para o ponto da reta ser equidistante dos eixos, existem duas soluções:

a) O ponto da reta pertence à reta bissetriz dos quadrantes pares:

y = x ----> 7x + 5x - 18 = 0 ----> x = 3/2 ----> y = 3/2 ----> (3/2, 3/2)

b) O ponto da reta pertence à reta bissetriz dos quadrantes ímpares:

y = - x ----> 7x - 5x - 18 = 0 ----> x = 9 ---> y = - 9 ----> (9, -9)