Pontos colineares

(Iezzi) Sabendo que A(5, -1), B(3,2) e C são colineares, determine as coordenadas de C no caso em que ele pertence à segunda bissetriz.

Gabarito:

Boa tarde!
Vou lhe propor dois caminhos de solução, o primeiro mais lógico e o segundo trabalhando com matrizes.

Primeiramente, antes de apresentar as soluções, vale dizer que, se C está na segunda bissetriz, ele tem a seguinte característica y_c = -x_c (i). Assim, tem-se C(x_c, -x_c).

Agora, vamos tentar encontrar outra relação entre y_c e x_c.

Primeiro caminho: note que, se os pontos A, B e C são colineares, eles pertencem a uma mesma reta. Desse modo, o coeficiente angular entre dois pontos quaisquer se manterá constante, de forma que α_AB = α_AC. Tomando α = Δy/Δx, vem: Δy_AB/Δx_AB = Δy_AC/Δx_AC ⇒ (y_A - y_B) /(x_A - x_B) = (y_A - y_C)/(x_A - x_C). Substituindo pelos valores, tem-se: -3/2 = (-1 - y_C)/(5 - x_c) ⇒ -2 - 2y_c = -15 + 3x_c ⇒ 2y_c + 3x_c = 13. Utilizando (i), vem: x_c = 13 e y_c = -13 ⇒ C(13, -13)

Segundo caminho: nesse caso, é importante que você conheça a condição de alinhamento de pontos pela matriz das coordenas. Resumidamente, caso os três pontos estejam alinhados, a matriz das coordenas terá determinante igual a zero. Fica um pouco difícil de representar as matrizes sem o LATEX, caso tenha dúvidas, dê uma rápida olhadinha na internet. Bom, em suma, você desenvolve o determinante e chegará na mesma relação encontrada acima: 2y_c + 3x_c = 13. Basta realizar o mesmo que já foi feito.

Obrigada, agora entendi