Prisma - ITA

Considere um prisma hexagonal regular tal que a razão entre a base a e a aresta lateral l é .
Sabendo que se a aresta da base for aumentada de 2 cm, o volume V do
prisma ficará aumentado de 108 cm³, considerando que a aresta lateral
permanece a mesma, podemos afirmar que o volume do primas é:

Antes uma pequena correção: "...tal que a razão entre a aresta da base a e a aresta lateral l é ".

a/L = √3/3 -----> L = a√3

altura do triâng.eq. da base: h = a√3/2
área do triâng. eq. da base: S = a²√3/4
área do hexágono da base: S_H = 6S -----> S_H = a²3√3/2
volume do prisma: V = S_HL -----> V = (9/2)a³

a' = a+2 ==> V' = V + 108 -----> V' = (9/2)a³ + 108 ................[I]

h' = (a+2)√3/2
S' = (a+2)²√3/4
S'_H = (a+2)²3√3/2
V' = (a+2)²(3√3/2)*(a√3)
V' = (9/2)[a² + 4a + 4]*a
V' = (9/2)[a³ + 4a² + 4a] ...............[II]

[I] = [II] , vem:
(9/2)[a³ + 4a² + 4a] = (9/2)a³ + 108
9a³ + 36a² + 36a - 9a³ - 216 = 0
36a² + 36a - 216 = 0 ...............................................(÷36)
a² + a - 6 = 0
--> a = -3 ........... a aresta é um segmento, logo, é positiva ---> não serve
--> a = 2

portanto,
V = (9/2)*2³ -----> V = 36 cm³

Valeu cara, muito obrigado mesmo!

Medeiros escreveu:
a' = a+2 ==> V' = V + 108 -----> V' = (9/2)a³ + 108 ................[I]

Olá Brother, não consigo entender porque você manteve o "a" sem alteração. Nessa expressão [I] que corresponde ao novo volume, o "a" não deveria estar somado a 2?

Temos um prisma de aresta a e volume V. Inicialmente calculei o volume V.
Quando a aresta é aumentada de 2, temos uma nova aresta a' e um novo volume V'. Então leia essa linha da seguinte forma:
quando temos a', que é igual a (a+2), (==>) então teremos um novo volume V' que é igual a V+108.
Mas V é o volume primevo, calculado antes, e que é função da aresta original a; eu só substituí e assim ficamos com uma equação de V' em função da aresta original a. Até aqui, isto pode ser considerado como dado do problema pois é o que foi dito no enunciado.

Para obter a equação [II], considerei a nova aresta a' no cálculo de V'.