FUVEST - Seno, Cosseno...

Relembrando a primeira mensagem :

(FUVEST - SP) O valor máximo da função f(x) = 3 * cos x + 2 * sen x para x real é:

√13

1) Fazendo x = 0 ----> cosx = 1 e senx = 0 ---->

f(x) = 3*cosx + 2*senx ---> f(x) = 3*1 + 2*0 ----> f(x) = 3


2) Fazendo x = pi/4 ----> cosx = \/2/2 e senx = \/2/2 ---->

f(x) = 3*\/2/2 + 2*\/2/2 ---> f(x) = 5*\/2/2 ----> f(x) ~= 3,5

QUal que vc acha que é maior?

Olá pessoal,
Ainda existe uma outra forma que considero a mais simples para resolver, basta usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
a² <= (3² + 2²)(sen²x + cos²x)
Logo o valor máximo de a é V13.

Elcioschin escreveu:Uma outra solução ´usando derivadas (para quem conhece):

f(x) = 3cosx + 2senx ----> f '(x) = - 3senx + 2*cosx

Para se ter f(x)máx ----> f '(x) = 0 ----> - 3senx + 2cosx = 0 ----> tgx = 2/3

senx/cosx = 2/3 ----> sen²x/cos²x = 4/9 ----> sen²x/(1 - sen²x) = 4/9 ----> sen²x = 4/13 ----> senx = 2\/13/3

cos²x = 1 - 4/13 ----> cos²x = 9/13 ----> cosx = 3*\/13/13

f(x)máx = 3*(3*\/13/13) + 2*(2*\/13/3) ----> f(x)máx = \/13

Elcio pq quando eu igualar essa funçao ja derivada a 0 ela vai ter um valor máximo???

Bruna

O assunto derivadas é do Ensino Superior e por isto pode ser um pouco difícil para você ententer.

Vou tentar explicar do modo mais fácil possível:

A derivada de uma função y = f(x) é uma outra função y' = f'(x), obtida de f(x) por um processo chamado derivação.

A derivada y' = f'(x) num ponto P de f(x), nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente à curva, neste ponto.

Por exemplo seja f(x) = - x² + 2x - 1 ----> parábola com a concavidade voltada para baixo. Esta função tem um máximo no vértice. Este vértice pode ser calculado (no Ensino Médio) através de:

xV = - b/2a ---> xV = - 2/2*(-1) ----> xV = 1

yV = -xV² + 2*xV - 1 ----> yV = - 1² + 2*1 - 1 ----> yV = 1

Vamos agora calcular este máximo xV, yV usando derivadas.

A derivada é f '(x) = -2x + 2 (não pergunte porque)

Traçando no vértice uma reta tangente à curva, ela é paralela ao eixo X, logo, o seu coeficiente angular vale zero.

Como o coeficiente angular é a derivada, podemos então igualar a derivada a zero:

Máximo ----> f '(x) = 0 ----> -2x + 2 = 0 ----> xV = 1 ----> yV = 1

Entendeu agora? Esta é apenas um pequeno exemplo de para que serve uma derivada. Para completar vou dar um exemplo mais importante na Física

S(t) = So + Vo*t + (1/2)*a*t² ----> Equação do espaço percorrido em função do tempo, num MRUV

Derivando esta função obtém-se S'(t) = Vo.1 + 2*(1/2)*a*t ----> S'(t) = Vo + a*t

Deu para notar uma curiosidade nesta última equação? Óbvio que sim: é a equação da velocidade V no MRUV

Pronto!!!! Conclusão: a derivada da função espaço - S'(t) nada mais é do que a velocidade ---> V = S'(t)

Isto significa que se desenharmos a função espaço (parábola), escolhermos um ponto P (Ti, Si) qualquer da função, e por ele traçarmos uma reta tangente à curva, o coeficiente angular desta reta (tangente do ângulo entre ela e o eixo X) é a velocidade do MRUV no instante Ti.

tipo eu sei uma boa parte de Cálculo , só que eu nao sabia que se eu igualasse uma funçao ja derivada a 0, eu acharia o valor máximo...

A derivada, quando igualada a zero pode representar o ponto onde a função é máxima OU MÍNIMA.

Agora, para saber se é um máximo ou um mínimo é uma outra história. No caso da parábola é fácil: asta saber a concavidade da curva. Em outros casos é mais difícil: imagine uma função seno que tem infinitos máximos e mínimos

entao como o Sr. identificou que aquela funçao ja derivada se seria máximo ou minimo???

Para saber se era máximo ou mínimo era preciso calcular a derivada 2ª f "(x)

Como eu expliquei ontem, é uma outra história.

Olha pssoal, eu não participei da pergunta naõ , mais essas explicações que voces deram  foram excelente, ás tem questoes que dá um branco
na gente as até  questões faceis, mais com uma boa explicação tudo volta ao normal, já aconteceu comigo, já tentei várias  vezes resolver uma questão de trigonometria até de facil solução,mais não consigo as vezes fico até envergonhado, mesmo assim resolvo colocar no pir2, depois que eu vejo o resultado eu p da vida,, vejo antão que errei num sinal  ou troquei algum numero, Obrigado pessoal, que  Deus dê muita saúde pra voces,

Bruna Barreto escreveu:entao como o Sr. identificou que  aquela funçao ja derivada se seria máximo ou minimo???

f'(x)=-3 sen(x) + 2 cos(x) 
Derivada 2ª = f"(x)=-3 cos(x) - 2 sen(x)

Aproveitando os cálculos do mestre Elcioschin => tg(x) =2/3

(dividindo por cos(x) a 2ª deridava ) 

f"(x)=-3*1  -2 tg(x)
f"(x)=-3 -3*2/3
f"(x)= -3 -6/3
f"(x)= -12/3 => -4

f"(x)<0 (máximo) ( então o valor √13 é o valor máximo )