FUVEST - Seno, Cosseno...

por semnick Qui 01 Mar 2012, 17:08

(FUVEST - SP) O valor máximo da função f(x) = 3 * cos x + 2 * sen x para x real é:

√13

por **Euclides** Qui 01 Mar 2012, 18:32

O gabarito está errado.

$\\f(x)=3cos(x)+2sen(x),\;\;\;\;\;\;x\in\;\Re \\\\sen(x)=y^2,\;\;\;\to\;\;\;cos(x)=1-y^2\\\\3(1-y^2)+2y^2=f(y)\\3-y^2=f(y)\\\\f(y)_{max}=f(x)_{max}=3$

A função:

FUVEST - Seno, Cosseno... Trak

por semnick Qui 01 Mar 2012, 18:45

desculpe, não compreendi sua resolução.

Como assim sen(x)=y² ?? Embarassed

por **Euclides** Qui 01 Mar 2012, 19:23

Hmmm, semnick! me perdoe: eu cometi um erro lá. Retorno logo, no momento estou ocupado.

por Luck Qui 01 Mar 2012, 20:06

f(x) = acosx + bsenx
Usando o 'truque' do triângulo retângulo:
FUVEST - Seno, Cosseno... Imagem567

cosθ = 3/V13
senθ = 2/V13
onde θ é um ângulo qualquer.

multiplicando a expressão por (V13/V13)

f(x) = (V13/V13) [ 3cosx + 2senx]
f(x) = V13 [(3/V13)cosx + (2/V13)senx ]
f(x) = V13 [cosθcosx + senθsenx]

f(x) = V13cos(θ-x)

f(x) máx -> cos(θ-x) = 1

f(x) máx = V13

por christian Qui 01 Mar 2012, 21:03

esse "truque" eh excelente ja resolvi uma questao do ita que saia por isso tambem , vc força a funçao ficar em 1 arco duplo ficando facil achar periodo e imagem

por **Euclides** Qui 01 Mar 2012, 21:08

Voltei (o Luck já resolveu - obrigado Luck!) mas como me sinto em débito vou deixar uma ajuda para a compreensão da solução:

FUVEST - Seno, Cosseno... Trak

por **Elcioschin** Qui 01 Mar 2012, 22:06

Uma outra solução ´usando derivadas (para quem conhece):

f(x) = 3cosx + 2senx ----> f '(x) = - 3senx + 2*cosx

Para se ter f(x)máx ----> f '(x) = 0 ----> - 3senx + 2cosx = 0 ----> tgx = 2/3

senx/cosx = 2/3 ----> sen²x/cos²x = 4/9 ----> sen²x/(1 - sen²x) = 4/9 ----> sen²x = 4/13 ----> senx = 2\/13/3

cos²x = 1 - 4/13 ----> cos²x = 9/13 ----> cosx = 3*\/13/13

f(x)máx = 3*(3*\/13/13) + 2*(2*\/13/3) ----> f(x)máx = \/13

por semnick Sex 02 Mar 2012, 10:40

Obrigado a todos.

Laughing

Uma dúvida sobre o "truque". Pq usam os "coeficientes" como catetos?

Desculpe, estou realmente lento está semana. Voltei a estudar no começo da semana e estou revisando os tópicos que considero mais importantes, pra só depois estudar todo o conteúdo.

por guilhermefisica Seg 05 Mar 2012, 12:22

Desculpa, mas tenho que aproveitar o tópico e tirar essa dúvida....O valor máximo assumido para essa função não é quando a mesma tem um valor de cos ou sen = 1 e o outro igual a 0? Por que estou com esse pensamento...? Acho que resolvi outra da Fuvest e fiz isso (e deu certo)...Enfim...se quiserem aproveitar e tirar minha dúvida, brigadinh Wink