FUVEST - Seno, Cosseno...

por semnick Qui 01 Mar 2012, 17:08

Relembrando a primeira mensagem :

(FUVEST - SP) O valor máximo da função f(x) = 3 * cos x + 2 * sen x para x real é:

√13

por **Giovana Martins** Qui 12 Jul 2018, 17:34

A função cosseno é limitada no intervalo [-1,1]. Desse modo, f(x) será máximo quando cos(θ-x)=1 e mínimo quando cos(θ-x)=-1.

por Tyler Durden Dom 15 Jul 2018, 12:55

No caso, o máximo de f(x)=cos(θ-x), seria quando
(θ-x)=0° ?

por **Giovana Martins** Dom 15 Jul 2018, 13:02

Neste caso você está trabalhando com os valores do domínio de f(x) que tornam f(x) máximo e não necessariamente com o valor máximo de f(x). Esse valor não importa, o que nos importa é o maior valor que f(x) pode assumir e o maior valor que f(x) pode assumir é 1.

por Tyler Durden Dom 15 Jul 2018, 13:11

Sim, fiquei curioso para saber que valores de x nos dão esse máximo.

por **Giovana Martins** Dom 15 Jul 2018, 13:39

Sabemos que o máximo valor que a função f(x)=3cos(x)+2sen(x) pode assumir equivale a f(x)=√13.

\\f(x)=\sqrt{13}\rightarrow 3cos(x)+2sen(x)=\sqrt{13}\ (1)\\\\sen^2(x)+cos^2(x)=1\ (2)\\\\De\ (1)\ e\ (2):\ sen(x)=\frac{2}{\sqrt{13}}, \ cos(x)=\frac{3}{\sqrt{13}}\\\\\therefore \ \boxed {x\approx33,69^{\circ}}

por **Giovana Martins** Ter 29 Jan 2019, 15:48

Uma outra ideia.

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz:

\\f(x)=2sen(x)+3cos(x)\\\\\left ( \alpha _1^2+\alpha _2^2+...+\alpha _n^2 \right )\left ( \beta _1^2+\beta _2^2+...+\beta _n^2 \right )\geq \left ( \alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2+...+\alpha _n\beta _n \right )^2\\\\\left ( \alpha _1^2+\alpha _2^2 \right )\left ( \beta _1^2+\beta _2^2 \right )\geq \left ( \alpha _1\beta _1+\alpha _2\beta _2 \right )^2,\left\{\begin{matrix}
\alpha _1=2\ \wedge\ \alpha _2=3

\beta _1=sen(x)\ \wedge\ \beta _2=cos(x)\\

\end{matrix}\right.\\\\\left [ (2)^2+(3)^2 \right ]\left [ \underset{1}{\underbrace{sen^2(x)+cos^2(x)}} \right ]\geq \left [ 2sen(x)+3cos(x) \right ]^2\\\\\left [ 2sen(x)+3cos(x) \right ]^2\leq 13\to |2sen(x)+3cos(x)|\leq \sqrt{13}\\\\-\sqrt{13}\leq 2sen(x)+3cos(x)\leq \sqrt{13}\to \boxed {-\sqrt{13}\leq f(x)\leq \sqrt{13}}

por JohnnyC Qui 02 Abr 2020, 16:39

Luck escreveu:f(x) = acosx + bsenx
Usando o 'truque' do triângulo retângulo:

cosθ = 3/V13
senθ = 2/V13
onde θ é um ângulo qualquer.

multiplicando a expressão por (V13/V13)

f(x) = (V13/V13) [ 3cosx + 2senx]
f(x) = V13 [(3/V13)cosx + (2/V13)senx ]
f(x) = V13 [cosθcosx + senθsenx]

f(x) = V13cos(θ-x)

f(x) máx -> cos(θ-x) = 1

f(x) máx = V13

pessoal, sobre o tal truque eu gostaria de tirar uma dúvida.

numa função do tipo f(x) = a.cosx + b.senx, com a e b positivos, a gente poderia considerar o seguintes ?

f mínimo = -1.(hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b)

f máximo = 1 . (hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b)

cos(θ-x) é máximo pra 1, e mínimo pra -1.
sen(θ-x) é máximo pra 1, e mínimo para -1

porque, pelo o que vi, seria isso mesmo.
não conhecia esse truque.

obrigado.

por **Elcioschin** Qui 02 Abr 2020, 17:13

Veja o tópico que aprece no alto da página de Trigonometria:

https://pir2.forumeiros.com/t150465-o-truque-do-triangulo-retangulo

por JohnnyC Qui 02 Abr 2020, 17:17

vou dar uma olhada, Mestre, obrigado!!!

por **Giovana Martins** Qui 02 Abr 2020, 17:39

Oiii, Johnny. Quanto tempo Smile

.

"cos(θ-x) é máximo pra 1, e mínimo pra -1.
sen(θ-x) é máximo pra 1, e mínimo para -1"

Essa informação aqui é lá das propriedades das funções trigonométricas.

As funções seno e cosseno são limitadas no intervalo -1 e 1.