O truque do triângulo retângulo

Frequentemente são postadas, no fórum, questões referentes a um tipo especial de equação (ou inequação) trigonométrica, facilmente resolvível por um método comumente denominado “Truque do triângulo retângulo”.

Seja a equação trigonométrica:       a.senx + b.cosx = k, com a, b, k constantes reais e a ≠ b

Para resolvê-la basta desenhar um triângulo retângulo ACB sendo C o ângulo reto e  BC = a, AC = b os catetos. Evidentemente a hipotenusa c é dada por c = √(a² + b²)

Sendo β, por exemplo, o ângulo entre o cateto a e a hipotenusa c, temos:  

........... a .......... a ..............................b ........... b
cosβ = --- = -------------- ........ senβ = ---- = -------------
........... c .....√(a² + b²) ...................... c .... √(a² + b²)

Multiplicando e dividindo o 1º membro da equação original por √(a² + b²), temos:

................................ a ................... b
√(a² + b²).[senx●-------------- + -------------●cosx] = k
..........................√(a² + b²) .....√(a² + b²)

√(a² + b²).(senx.cosβ + senβ.cosx) = k ---> √(a² + b²).sen(x + β) = k ---> sen(x + β) = k/√(a² + b²)

Se θ for um ângulo notável ou conhecido, tal que senθ =  k/√(a² + b²) --->

sen(x + β) = senθ ---> x + β = θ ---> x = θ - β


Alguns ângulos notáveis ou conhecidos: 15º, 18º, 30º, 36º, 45º, 54º, 60º, 72º, 75º:

sen15º = cos75º = (√6 - √2)/4  ---> sen75º = cos15º = (√6 + √2)/4
sen30º = cos60º = 1/2  ---> sen60º = cos30º = √3/2
cos36º = sen54º = (√5 + 1)/4 ---> cos72º = sen18º = (√5 - 1)/4
sen45º = cos45º = √2/2
sen60º = cos30º = √3/2