Limite: Definição... !?

Definição: Sejam tal que para todo intervalo aberto I, contendo b, tem-se I ∩ (A -{b})≠ ϕ. O número real L é o limite de f(x) quando x aproximar-se de b quando para todo ε > 0, existe δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que, se x ∈ A e 0<|x-b|< δ então |f(x)-L|< ε.

Notação:

Pessoal gostaria da ajuda dos Senhores para poder compreender com mais exatidão a definição.

Por exemplo: I ∩ (A -{b})≠ ϕ ---> o que significa essa linha ?

Por que entrou o epsilon, o phi e delta ? O que eles significam ?





Neste exemplo acima, de onde apareceu aqueles módulos que envolvi por um quadrado vermelho ?

E onde diz na definição que o produto deve ficar menor que ε ?


Irei agradecer profundamente se puderm me sanar essas dúvidas, que, para mim, são complicadas !

Agradeço.

Pra você só não !!! Pra qualquer um !!! :scratch: :face: :cyclops: !!!

O conceito de LIMITE é dinâmico e para a matemática era um problemão!!! E ainda é ...

O matemático francês Cauchy, um dos "pais" da "Análise Matemática", além de outros, tentaram formalizar o conceito de LIMITE matematicamente.

Mas até hoje os matemáticos tentam variar essa formalização inventando um monte de "coisas" como "caixas" e outros bichos.

Sendo a Geometria uma das maiores e mais espetaculares criações humanas, Cauchy também tentou a formalização através de abstrações geométricas, mesmo sem se aperceber, apesar de todos considerarem seu enfoque como algébrico-lógico...

O módulo de x-a, |x-a|, é usado para caractrerizar a "distância" entre um ponto "a" qualquer e "x".

Temos que perceber que a matemática, para simplificar as coisas, construiu um Universo ESTÁTICO !!!

E NO PRESENTE DO INDICATIVO !!!

As coisas são assim:

A = B

Significando: "A" É igual a "B".

Nunca encontramos qualquer referência assim:

"A" ERA igual a "B"

"A" FOI igual a "B"

"A" SERÁ igual a "B"

"A" SERIA igual a "B"

"A" PODE SER igual a "B"

Etc.

Então era e continua difícil expressarmos um gerúndio condicional:

Enquanto "x" tender (se aproximar, geometricamente) de "A", se tudo correr bem e não tiver buracos no caminho, "y" se aproximará de "L".

Que simbolizamos assim:



Essa é a noção ou idéia que você tem que ter sobre LIMITES.

Uma noção GEOMÉTRICA e deixar os matemáticos inventarem algo melhor para representarem o Universo do jeito que ele realmente é: DINÂMICO.

O TEMPO pode até não existir... mas o MOVIMENTO não é uma ilusão, existe mesmo !

Pegue uma planilha eletrônica e faça uma coluna pro "x" e outra para "(x² - 1)/(x-1)".

Comece com valores de "x" próximos de 1, tipo "1,1". Depois vá diminuindo, tipo "1,01", "1,001"e assim vai até onde você quiser... (1,0000000000000000000000000000000000000000000000001)?

A coluna da função vai se aproximando de "2", né ?



Basta isso !

Saudações ilimitadas !

Enquanto estudarmos nos aproximaremos de nossas metas !!!



Então, Vamos Lá !!

Realmente,

concordo em tudo com o rhian. A definição formal de limite é, na minha opinião, uma das coisas mais horrorosas da matemática, apesar do apuro lógico.

Uma boa noção intuitiva de limite é o bastante para você prosseguir os estudos.

!

Obrigado Mestres, mas da onde apareceu o 0< |x-4| <δ ?

E com certeza a ajuda dos Mestres Rihan e Euclides foram de grande valia mesmo, pois deu uma clareada e tanta.

Quando eu estava estudando um pouco de cálculo. Também vi essas definições. Não entendi de jeito nenhum. E olhe que eu vi vários exercícios sobre esta definição formal no livro. Espero que não caia em nenhuma prova de cálculo 1 ahsuhAUSas

Kongo escreveu:Quando eu estava estudando um pouco de cálculo. Também vi essas definições. Não entendi de jeito nenhum. E olhe que eu vi vários exercícios sobre esta definição formal no livro. Espero que não caia em nenhuma prova de cálculo 1 ahsuhAUSas

É verdade, quando eu estudei essa parte, eu fiquei meio assustado não entendia nada, relia várias vezes e nada. No meu caso eu associei a ideia de limite intuitiva, como o Euclides falou. A definição de limite bem dizer só existe por que na época de Cauchy, a matemática estava numa época onde a prova dos teoremas era bem rígida. O limite não poderia ser diferente. Ou seja definição de limite só server para formalizar o assunto, nada mais. Se você não ta na facu, esquece isso. Você vai ver melhor la.

Abraço

alissonsep escreveu:Obrigado Mestres, mas da onde apareceu o 0< |x-4| <δ ?

|x-4| : distância entre "x" e "4" na reta dos Reais.

δ : um valor POSITIVO que você ou quem estiver lendo pode ir escolhendo à vontade :face:.

0 < |x-4| < δ : Por menor que seja o "δ" escolhido por você, a expressão continua válida.

Repare !!! Aí é uma tentativa de se dar uma noção de "tempo", "movimento", "eventos sucessivos"...

É a tentativa de se dizer simbolicamente "que quando x tende a 4..."

Mal, né ???

Relamente Mestre Rihan, é um tanto complicado, porém a explicação dada pelos Senhores esta sendo bastante reveladora, sobre o assunto.

Os senhores tem alguma indicação de material para leitura de forma a melhorar a compreensão sobre a definição do assunto ?

Agradeço mais uma.

Como disse antes, é melhor você ficar SOMENTE com a noção intutitiva.

Mais tarde, caso você faça Matemática ou similar, e quiser criar novos símbolos, definir e provar melhor que Cauchy e seus sucessores, eu e muitos outros vão ficar muito felizes !