Definição de Limite

Mostre pela definição de limite que lim (x^3-1)/(x-1) é igual a 3, quando x->1.

Meu professor resolveu na sala, mas tem uma parte que não entendi, alguem poderia me explicar?

Resolução

| (x^3-1)/(x-1) - 3 | < ε                   para 0<|x-1|<δ

| (x-1)(x^2+x+1)/(x-1) - 3| < ε

| x^2 +x+1 | < ε

| 1(x-1)(x+2) | < ε

|x-1||x+2| < ε

até aqui tudo bem.
ele falou que  |x-1|< ε/|x+2| não pode, por causada icógnita X, então ele fez isso:

Supondo que δ =< 1

0<|x-1|<δ

|x-1|< 1

-1 < x-1 < 1

0 < x < 2                        (1)

2 < x+2 < 4                     (2)

|x+2| < 4                        (3)

|x-1||x+2|< 4|x-1| < ε      (4)

|x-1| < ε/4

resp: δmin(1, ε/4)

Esta última parte que não entendi.

ele restringiu  δ=1 , com isso "x" ficou no intervalo   ,veja que a função |x+2| neste intervalo,é minorada e
majorada por : 2<|x+2|<4 , então pegamos |x+2|<4 para  manter a desigualdade ,ficando com :


|x-1|*|x+2|<|x-1|*4< ε


então :

|x-1|*4< ε

|x-1|< ε/4


como :  |x-1|<δ   e   |x-1|< ε/4, podemos tomar : δ= ε/4 , temos dois valores para  δ, que são "1" e  "ε/4", só nos vai interessar o menor , uma notação para isso é :  δmin=(1, ε/4) .Perceba que poderiamos ter encontrado outros valores de  δ, para isso bastavamos supor :  δ=1/2 ,δ=1/4, δ=10/19 .... , o valor de δ não precisa ser único, bastar encontrar um que satisfaça a relação.