Valode senx+cosx

Sabendo que senx+cosx=m, calcule o valor da expressão a seguir:

sen⁵x+cos⁵x

Gabarito:

sen⁵x+cos⁵x = (-m⁵+5m)/4

Olá adam,um modo de fazer é expandir o binomio de newton:

(a+b)^5 = a^5 + (5a^4 )b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab^4 + b^5
onde a = senx , b = cosx, (a+b) = m

(senx+cosx) = m
(senx+cosx)² = m²
1 +2senxcosx = m²
senxcosx = (m²-1)/2
ab = (m²-1)/2

a^5 + b^5 = y = ?
agora é so substituir , fatorar e conta..

m^5 = y + (5a^4 )b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab^4
y = m^5 -[ 5ab(a³+b³) + 10a²b²(a+b) ]
a³ +b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)

y = m^5 - [ 5ab(a+b)³ - 15a²b²(a+b) + 10a²b²(a+b) ]
y = m^5 - 5abm³ +5a²b²(a+b)
y = m^5 - 5abm³ + 5a²b²m
agora substitui ab por (m²-1)/2 e faz o mmc, ou multiplica tudo por 4, que vai cortar td e sobrar m^5 e m, vai ficar assim:
m^5 = (4y + 5m^5 - 5m) /4
-m^5 = 4y - 5m
y = (-m^5 + 5m) / 4

Obrigado Luck