Área máxima

por dibasi Sáb 28 Set 2024, 23:33

Considere um triângulo isósceles PQR, tal que PQ = PR = 2 cm. Encontre a medida do terceiro lado QR, de modo que a área do triângulo PQR seja máxima.
Resposta: 2 raiz de 2.

por **Giovana Martins** Dom 29 Set 2024, 06:13

Seja M o ponto médio do segmento QR. Da simetria do triângulo isósceles, o segmento PM corresponde à altura do triângulo, tal que PM ⟂ QR, isto é, m(∠PMR) = 90°.

Ademais, seja QM = MR = x e PM = y.

Do triângulo retângulo PMR, tem-se que:

\[\mathrm{(PR)^2=(PM)^2+(MR)^2\to 4=y^2+x^2\ \therefore\ y=\sqrt{4-x^2},pois\ y>0}\]

A área do triângulo PQR é dada por:

\[\mathrm{A=\frac{1}{2}\cdot QR\cdot PM\to A(x,y)=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot x\cdot y\ \therefore\ A(x)=x\sqrt{4-x^2}}\]

Agora, precisamos maximizar esta área. Vou propor três formas, quais sejam:

1 - Substituição trigonométrica: seja x = 2cos(θ).

\[\mathrm{A(\theta )=2cos(\theta)\sqrt{4[1-cos^2(\theta)] }\to A(\theta )=4cos(\theta)sin(\theta )\ \therefore\ A(\theta)=2sin(2\theta) }\]

Como - 1 ≤ sin(2θ) ≤ 1, a função f(θ) = sin(2θ) assume o seu valor máximo quando sin(2θ) = 1. Assim:

\[\mathrm{sin(2\theta)=1\ \therefore\ \theta = \frac{\pi}{4}\ \therefore\ x=2cos \left (\frac{\pi}{4} \right )\to x=\sqrt{2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{QR=2\sqrt{2}\ cm}}}\]

A área máxima, portanto, é dada por:

\[\mathrm{A(\theta )=A_{m\acute{a}x}=2\cdot 1\ \therefore\ \boxed{\mathrm{A_{m\acute{a}x}=2\ cm^2}}}\]

2 - Processos de derivação.

\[\mathrm{A(x)=x\sqrt{4-x^2}\ \therefore\ \frac{dA(x)}{dx}=\frac{d}{dx} \left ( x\sqrt{4-x^2} \right )\ \therefore\ \frac{dA(x)}{dx}=-\frac{2(x^2-2)}{\sqrt{4-x^2}}}\]

Para determinar os pontos críticos, igualemos a derivada a zero.

\[\mathrm{\frac{dA(x)}{dx}=-\frac{2(x^2-2)}{\sqrt{4-x^2}}=0\ \therefore\ x= \sqrt{2}\ cm,pois\ x>0}\]

Pelo Critério da Primeira Derivada, f'(x) > 0, se - √2 < x < √2. Assim, f'(x) > 0 à esquerda de x = √2 e f'(x) < 0 à direita de x = √2, logo, x = √2 é ponto de máximo local, tal que QR = 2√2 cm.

A área máxima é dada por:

\[\mathrm{A\left (\sqrt{2} \right ) =\sqrt{2}\cdot \sqrt{4-\left ( \sqrt{2} \right )^2 }\ \therefore\ \boxed{\mathrm{A_{m\acute{a}x}=2\ cm^2 }}}\]

3 - Desigualdade das Médias: Média aritmética ≥ Média geométrica.

\[\mathrm{M_A\geq M_G\ \therefore\ \frac{x^{2}+4-x^{2}}{2}\geq \sqrt{x^{2}\left ( 4-x^{2} \right )}\ \therefore\ x\sqrt{4-x^{2}}\leq 2\to A(x)\leq 2\ \therefore\ \boxed{\mathrm{A_{m\acute{a}x}=2\ cm^2}}}\]

Dado que:

\[\mathrm{A_{m\acute{a}x}=x\sqrt{4-x^2}\ \therefore\ x\sqrt{4-x^2}=2\to x=\sqrt{2} \therefore\ \boxed{\mathrm{QR=2\sqrt{2}\ cm}}}\]

por **Elcioschin** Dom 29 Set 2024, 11:09

Outro modo:

Seja Q^PR= θ ---> Área do triângulo: S = PQ.PR.senQ^PR/2 ---> S = 2.2.senθ/2 ---> S = 2.senθ

Para S ser máxima, devemos ter senθ máximo = 1 ---> θ = 90º

QR² = PQ² + PR² ---> QR² = 2² + 2² ---> QR² = 8 --> PR = 2.√2 cm