Área máxima

Um vitral tem o formato de um retângulo com um semicírculo em cima. O vidro utilizado na parte semicircular é menos translúcido, de sorte que a quantidade de luz que passa por unidade de área é de 2/3 do permitido pelo vidro da parte retangular. Sendo o perímetro do vitral fixado em 6m, calcule as dimensões do vitral que permita maior passagem de luz. Justifique sua resposta.

Igor Almeida de Morais escreveu:Um vitral tem o formato de um retângulo com um semicírculo em cima. O vidro utilizado na parte semicircular é menos translúcido, de sorte que a quantidade de luz que passa por unidade de área é de 2/3 do permitido pelo vidro da parte retangular. Sendo o perímetro do vitral fixado em 6m, calcule as dimensões do vitral que permita maior passagem de luz. Justifique sua resposta.

Boa noite, Igor.

Vou considerar pi=3.

Medida da parte curva do vitral:
2.pi.r/2 = pi.r 

Medida das 3 partes do retângulo que completam o vitral:
Largura = 2r
Altura.. = a

Perímetro:
3r + 2r + 2a = 6
5r + 2a = 6 ........ (I)

Área do semi-círculo:
pi.r²/2 = 3r²/2 

Área do retângulo:
2r*a = 2ar

Luminosidade do semi-círculo:
2/3 * 3r²/2 = r²

Luminosidade do retângulo:
1 * 2ar = 2ar

Luminosidade total do vitral:
r² + 2ar ......... (II)

De (I) podemos deduzir:
2a = 6-5r ..... (III)

Aplicando-se (III) em (II), vem:
r² + (6-5r).r = r² + 6r - 5r²

f(r) = -4r² + 6r

O gráfico da função acima é o de uma parábola com concavidade voltada para baixo, indicando ter um máximo em seu vértice.
Coordenadas do vértice:
Xv = -b/2a = -6/-8 = 3/4 m (=r)

Portanto, fica:
2a = 6-5r = 6 - 5(0,75) = 6 - 3,75 = 2,25
a = 2,25/2

a = 1,125 m
r = 0,75 m 

Logo, as dimensões solicitadas devem ser:
Largura = 2r = 2*0,75 m = 1,50 m
Altura.. = a = 1,125 m

Creio que sejam essas as medidas para luminosidade máxima do vitral.


Um abraço.

Mt obrigado ivomilton, não usei pi=3, mas meus resultados deram bem proximos do seu, meu r foi igual a 0,73 m e o a=1,116 m. Então considero certo