(Simulado ITA/IME) Geometria Analítica e Sequências
2 participantes
Página 1 de 1
(Simulado ITA/IME) Geometria Analítica e Sequências
por Giovana Martins Dom 10 Nov 2024, 12:06
Segue um desafio para alegrar o domingo. Não sei ainda se no material que tenho aqui tem a resolução. Se tiver eu posto aqui 
.
.Sejam as seguintes circunferências:
\[\mathrm{\alpha: x^2+y^2=a^2}\]
\[\mathrm{\beta: x^2+y^2=b^2}\]
\[\mathrm{\gamma: x^2+y^2=c^2}\]
Por um ponto P, tal que P ∈ α, são traçadas duas retas tangentes a β nos pontos T1 e T2. Considerando que a reta que contém os pontos T1 e T2 é tangente a γ, mostre que os raios a, b e c estão em progressão geométrica.
Última edição por Giovana Martins em Dom 10 Nov 2024, 17:44, editado 1 vez(es)
____________________________________________
Charlotte de Witte - Universal Nation
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8457
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 24
Localização : São Paulo
Re: (Simulado ITA/IME) Geometria Analítica e Sequências
por Lipo_f Dom 10 Nov 2024, 14:34
Vou propor uma solução que parece bem carteada, mas está tudo certinho, juro por tudo rs.
Consideremos o caso mais simples, em que P é o ponto x > 0, y = 0 => P(a,0).
Qual a abscissa dos pontos T(x,y) (deve ser igual pela simetria)?
Formamos o triângulo retângulo 0TP (hipotenusa 0P). Seja K a projeção de T sobre 0P, então, das relações nos triângulos retângulos, vale TK² = 0K . KP <=> y² = x(a - x) = ax - x² => ax = x² + y². Nota que x² + y² = b², afinal pertence T ao círculo beta => ax = b² => x = b²/a.
Também, deve T1T2 ser vertical. Porque gama acaba sendo tangente por T1T2, tenho c = x = b²/a, logo ac = b² e a, b e c estão em PG.
Por fim, qualquer outra situação deriva do P escolhido sempre. E é bem fácil obtê-lo partindo do caso simples acima, é só rotacionar o sistema todo até P condizer com (a,0). Então, deve ac = b² sempre.
Consideremos o caso mais simples, em que P é o ponto x > 0, y = 0 => P(a,0).
Qual a abscissa dos pontos T(x,y) (deve ser igual pela simetria)?
Formamos o triângulo retângulo 0TP (hipotenusa 0P). Seja K a projeção de T sobre 0P, então, das relações nos triângulos retângulos, vale TK² = 0K . KP <=> y² = x(a - x) = ax - x² => ax = x² + y². Nota que x² + y² = b², afinal pertence T ao círculo beta => ax = b² => x = b²/a.
Também, deve T1T2 ser vertical. Porque gama acaba sendo tangente por T1T2, tenho c = x = b²/a, logo ac = b² e a, b e c estão em PG.
Por fim, qualquer outra situação deriva do P escolhido sempre. E é bem fácil obtê-lo partindo do caso simples acima, é só rotacionar o sistema todo até P condizer com (a,0). Então, deve ac = b² sempre.
Última edição por Lipo_f em Seg 11 Nov 2024, 15:34, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Gramática chorou no meio)
Lipo_f- Mestre Jedi
- Mensagens : 511
Data de inscrição : 16/05/2024
Idade : 19
Localização : Belém, Pará
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: (Simulado ITA/IME) Geometria Analítica e Sequências
por Giovana Martins Dom 10 Nov 2024, 17:40
Top. Sua resolução ficou melhor do que a que eu vou propor. Só consegui fazer usando derivadas e outros conceitos do ensino acadêmico (acho que parametrização não é assunto do ensino médio; nem mesmo nos vestibulares militares).
Se quiser ver a resolução de fato, desça. Está lá para baixo indicada em vermelho. Adiante, seguem algumas explicações.
Quando você estuda derivadas, neste tema você encontra um resultado que diz mais ou menos o seguinte: dada uma circunferência Ω: x2 + y2 = r2, a equação da reta tangente a Ω no ponto T(u,v) é dada por ux + vy = r2. Não é muito complicado provar isso, veja:
\[\mathrm{x^2+y^2=r^2\ \therefore\ \frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(r^2)\ \therefore\ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}}\]
Pela equação da reta:
\[\mathrm{y-y_0=(x-x_0)\frac{dy}{dx}\ \therefore\ y(y-y_0)=x(x_0-x)\to xx_0+yy_0=x^2+y^2}\]
Note que (x0,y0) = (u,v) e x2 + y2 = r2, logo:
\[\mathrm{ux+vy=r^2}\]
Agora, um teorema da geometria analítica mais ou menos conhecido:
Seja P(m,n) o ponto externo à circunferência x2 + y2 = r2 e a partir do qual traca-se retas tangentes à circunferência. A corda que intersecta a circunferência e as retas tangentes nos pontos de tangência é dada por mx + ny = r2.
Para provar a ideia acima, sejam T1(x',y') e T2(x'',y'') os pontos de tangência.
As retas PT1 e PT2 são dadas, respectivamente, por:
xx' + yy' = r2
xx'' + yy'' = r2
Como P(m,n) ∈ PT1 e P(m,n) ∈ PT2, logo, mx + ny = r2, que representa a equação da corda que intersecta a circunferência e as retas tangentes nos pontos de tangência.
Como P(m,n) ∈ PT1 e P(m,n) ∈ PT2, logo, mx + ny = r2, que representa a equação da corda que intersecta a circunferência e as retas tangentes nos pontos de tangência.
Agora, vamos à questão. Daqui para cima é só a explicação de onde sai cada coisa.
A resolução é daqui para baixo.
Seja a parametrização P(acos(θ),asin(θ)). Assim, a equação da corda T1T2 é dada por [acos(θ)]x + [asin(θ)]y = b2, que é tangente a γ: x2 + y2 = c2.
Utilizando a relação que nos fornece a distância de um ponto, neste caso, o centro (0,0) de γ, à reta:
\[\mathrm{\frac{|-b^2|}{\sqrt{a^2sin^2(\theta )+a^2cos^2(\theta )}}=c\ \therefore\ b=\sqrt{ac}}\]
Assim, os raios a, b e c estão em P.G..
____________________________________________
Charlotte de Witte - Universal Nation
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8457
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 24
Localização : São Paulo
r4f4 gosta desta mensagem
Conteúdo patrocinado
Tópicos semelhantesPágina 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
