Prova envolvendo módulo

Boa noite a todos.
Estou estudando o livro Basic Mathematics do Serge Lang, de 1971, e na página 26 temos este exercício:



Seguindo a definição de divisibilidade do próprio autor, se [latex]a \equiv b (\textrm{mod} 5)[/latex] significa que [latex](a - b)[/latex] é divisível por 5, então poderia escrever
[latex]a \equiv b (\textrm{mod} 5)[/latex] como [latex](a - b) = 5k[/latex] e [latex]x \equiv y (\textrm{mod} 5)[/latex] como [latex](x - y) = 5p[/latex].
Dessas expressões entendo que a soma de cada um dos pares de parcelas [latex](a, -b)[/latex] e [latex](x, -y)[/latex] é divisível por cinco, então supus que daria para resolver o exercício provando que
[latex](a + x) - (b + y) = (a - b) + (x - y)[/latex]
o que significaria que a soma dos dois pares de parcelas também é divisível por cinco. Gostaria que corrigissem tanto o meu entendimento (posso ter interpretado errado) quanto a resposta.
Apenas uma nota, quando digo "soma" das parcelas, entendo também uma subtração como uma soma, pois [latex]a - b = a + (-b)[/latex]. Segue abaixo a resposta da primeira parte do exercício:

Você estava num bom caminho em notar que
a - b = 5k
x - y = 5p
Só não entendo aonde você gostaria de chegar com aquela igualdade. A solução pra mim não tem nada a ver com isso. Some as duas equações:
(a+x) - (b+y) = 5(k+p) = 5m
Ora, a + x = 5m + (b+y). E o que é o mod 5 senão o resto na divisão por 5? Daí a prova da proposição.
O outro item se resolve quase igual
a = 5k + b
x = 5p + y
ax = 25pk + 5pb + 5ky + by = 5(5pk + pb + ky) + by = 5n + by, provando a afirmativa.

Lipo_f escreveu:Você estava num bom caminho em notar que
a - b = 5k
x - y = 5p
Só não entendo aonde você gostaria de chegar com aquela igualdade. A solução pra mim não tem nada a ver com isso. Some as duas equações:
(a+x) - (b+y) = 5(k+p) = 5m
Ora, a + x = 5m + (b+y). E o que é o mod 5 senão o resto na divisão por 5? Daí a prova da proposição.
O outro item se resolve quase igual
a = 5k + b
x = 5p + y
ax = 25pk + 5pb + 5ky + by = 5(5pk + pb + ky) + by = 5n + by, provando a afirmativa.

Perfeito, Lipo.
Apenas uma dúvida, por quê no (a + x) - (b + y) = 5(k + p) você pôde usar o sinal de "+" ali no 5(k + p), já que na expressão à esquerda da igualdade (b + y) está "negativo"? 
Eu posso então substituir (a + x) e (b + y) na direita da igualdade por 5k + 5p ainda que na esquerda eles estejam na forma (a + x) + [-(b + y)]? O correto não seria 
5k - 5p?

Isso acontece porque eu somei as duas equações, não as subtraí.

Lipo_f escreveu:Isso acontece porque eu somei as duas equações, não as subtraí.

Obrigado, Lipo.
Resolvido!