Pressão eletrostática

por Rennan Santos Seg 11 Nov 2024, 22:08

Considere uma bolha esférica de raio r submersa em um meio de pressão P constante. A bolha é carregada com uma carga Q e seu raio passa a ser 2r. Qual a constante eletrostática do meio? considere a temperatura constante.

Gabarito: 112πPr^4/Q^2:

por **Giovana Martins** Ontem à(s) 18:57

Acredito que seja o seguinte:

Pela Equação dos Gases Ideais (Clapeyron), tem-se que a pressão inicial é dada por:

\[\mathrm{pV=nRT\ \therefore\ \frac{4}{3}\pi r^3P=nRT}\]

Ao carregar a bolha com cargas de mesmo sinal, estas tendem a se repelir e, portanto, tendem a se afastarem entre si o máximo que conseguirem, o que faz com que a pressão no interior da bolha sofra uma alteração em relação à pressão inicial. Deste modo, para equilibrar externa P, ter-se-á o seguinte equilíbrio:

\[\mathrm{p_{G\acute{a}s}+p_{Carga}=P}\]

\[\mathrm{p_{G\acute{a}s}+\frac{F_{E}}{S}=P\to p_{G\acute{a}s}+\frac{EQ}{S}=P}\]

Dado que as cargas tendem a ir para a superfície da bolha, devemos lembrar que o campo elétrico na superfície da esfera é metade do campo que seria gerado por uma carga pontual no centro da esfera. Assim:

\[\mathrm{E=\frac{1}{2}\frac{kQ}{d^2}}\]

Prosseguindo aos cálculos:

\[\mathrm{p_{G\acute{a}s}+\frac{1}{2}\frac{kQ}{(2r)^2}\frac{Q}{4\pi (2r)^2}=P\ (i)}\]

Considerando a temperatura constante conforme enunciado e, novamente, por Clapeyron:

\[\mathrm{pV=nRT\ \therefore\ \frac{4}{3}\pi (2r)^3p_{G\acute{a}s}=nRT}\]

\[\mathrm{\frac{p_{G\acute{a}s}V_{f}}{T}=\frac{PV_{i}}{T}\to \frac{4}{3}\pi (2r)^3p_{G\acute{a}s}=\frac{4}{3}\pi r^3P\ \therefore\ p_{G\acute{a}s}=\frac{P}{8}\ (ii)}\]

De (i) e (ii):

\[\mathrm{\frac{P}{8}+\frac{1}{2}\frac{kQ}{(2r)^2}\frac{Q}{4\pi (2r)^2}=P}\]

\[\mathrm{\therefore\ \boxed{\mathrm{k=\frac{112\pi r^4P}{Q^2}}}}\]

Nota: talvez você faça o seguinte questionamento: se as cargas se distribuem de modo a ficarem o mais distante possível, a pressão final do gás deveria ser maior que P, e não 8 vezes menor que P. Penso que isto não ocorre, pois ao passar de r para 2r o volume da bolha passou a ser 8 vezes maior que o volume da bolha inicial, o que contrabalanceou a pressão interna do gás.

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