função polinomial

Veja algumas ideias. Se houver dúvidas, avise.

Seja a parametrização x = cos(θ) e y = sin(θ).

Assim, podemos escrever (x + y)² = [cos(θ) + sin(θ)]², tal que:

(x + y)² = cos²(θ) + sin²(θ) + 2sin(θ)cos(θ)

(x + y)² = 1 + sin(2θ)

Dado que - 1 ≤ sin(2θ) ≤ 1, (x + y)² é mínimo quando sin(2θ) = - 1 e máximo quando sin(2θ) = 1.

Deste modo:

[(x + y)²]_mín = 0

[(x + y)²]_máx = 2

Pela Desigualdade de Cauchy - Schwarz:

\[\mathrm{ \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _i^2 \right ) \left ( \sum_{i=1}^{n}\beta _i^2 \right )\geq \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _i\beta _i \right )^{2}}\]
Assim:

(x² + y²)(1² + 1²) ≥ (x + y)²


Pelo enunciado, x² + y² = 1, logo:


(x + y)² ≤ 2

Ou seja, (x + y)² é máximo quando (x + y)² = 2.

Pela Desigualdade das Médias:

(x + y)² = x² + y² + 2xy = 1 + 2xy

Agora, veja que:

\[\mathrm{M_A\geq M_G\to \frac{x^2+y^2}{2}\geq \sqrt{x^2y^2}\ \therefore\ |xy|\leq \frac{1}{2}}\]

Deste modo:

\[\mathrm{xy=-\frac{1}{2}\ \therefore\ [(x+y)^2]_{min}=0}\]

\[\mathrm{xy=\frac{1}{2}\ \therefore\ [(x+y)^2]_{max}=2}\]

Inicialmente, vou escrever f(x,y) = x + y como um produto escalar entre os vetores k(x,y) e u(1,1):

\[\mathrm{f(x,y)=\overset{\to }{k}\cdot \overset{\to }{u}}\]
A ideia é maximizar o produto escalar com a restrição |k| = 1.


Do produto escalar tem-se:

\[\mathrm{f(x,y)=f(\theta)=\left|\overset{\to }{k} \right|\left|\overset{\to }{u} \right|cos(\theta)}\]
\[\mathrm{f(x,y)=f(\theta)=\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}} \right )\left ( \sqrt{1^{2}+1^{2}} \right )cos(\theta)}\]
\[\mathrm{f(x,y)=f(\theta)=\sqrt{2}cos(\theta)}\]

Quando os vetores k e u estão no mesmo sentido, θ = 0°, o que acarreta cos(θ) = 1 e, portanto, f(x,y) = √2, que é o valor máximo.

Assim, o valor máximo de (x + y)² equivale a (x + y)² = (√2)² = 2.

Por Multiplicadores de Lagrange:

Seja f(x,y) = (x + y)².

Seja o Lagrangiano L(x,y,λ) = (x + y)² + λ(x² + y² - 1), sendo λ o multiplicador de Lagrange.

\[\mathrm{\frac{\partial L}{\partial x}=0\ \therefore\ x+y+\lambda x=0\ (i)}\]

\[\mathrm{\frac{\partial L}{\partial y}=0\ \therefore\ x+y+\lambda x=0\ (ii)}\]

\[\mathrm{\frac{\partial L}{\partial \lambda }=0\ \therefore\ x^{2}+y^{2}=1\ (iii)}\]

De (i) e (ii), tem-se λ(x - y) = 0, isto é, λ = 0 ou y = x.

Caso λ = 0, tem-se y = - x, assim, de (iii):

\[\mathrm{x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ \therefore\ y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{(x+y)^2=\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}=0}\]

Caso y = x, tem-se:

\[\mathrm{x^2+y^2=1\ \therefore\ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ \therefore\ y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}\]

O que acarreta:

\[\mathrm{(x+y)^2=\left ( \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}=2}\]