Triângulo e Circunferência

Giovana Martins escreveu:

Top, Geometriacomwhey!

Segue a resolução que eu tenho aqui. Não é minha. É do autor do vídeo.

Pelo teorema das retas tangente à circunferência, DE = CD. Pelo enunciado, DE = BC, logo, DE = BC = CD. A partir desta conclusão, façamos a construção do ΔCDF, que é congruente ao ΔABC.



Nota: figura fora de escala.

Por Pitágoras no ΔAFC:

\[\mathrm{AF=\sqrt{(AC)^2+(CF)^2}\to AF=\sqrt{(3)^2+(3)^2}\ \therefore\ AF=3\sqrt{2}}\]

Por Heron no ΔADF:

\[\mathrm{p=\frac{3\sqrt{2}+5+7}{2}\ \therefore\ p=\frac{3\sqrt{2}+12}{2}}\]

\[\mathrm{[ADF]=\sqrt{p(p-AD)(p-AF)(p-FD)}}\]

\[\mathrm{[ADF]=\sqrt{\left ( \frac{3\sqrt{2}+12}{2} \right )\times \left ( \frac{12-3\sqrt{2}}{2} \right )\times  \left ( \frac{3\sqrt{2}+2}{2} \right )\times  \left ( \frac{3\sqrt{2}-2}{2} \right )  }}\]

\[\mathrm{\therefore\ [ADF]=\frac{21}{2}}\]

Da geometria do ΔADG:

\[\mathrm{DG=7sin(\theta)}\]

A área do ΔADF é dada por:

\[\mathrm{[ADF]=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{2}\times 7\times sin(\theta)=\frac{21}{2}\ \therefore\ \theta =45^\circ{}}\]

Deste modo, o ΔACD é retângulo em A, já que o ΔACF é isósceles e retângulo em C. Por Pitágoras neste triângulo:

\[\mathrm{CD=\sqrt{(7)^2+(3)^2}\ \therefore\ CD=\sqrt{58}}\]

Como DE = BC = CD, portanto, o raio da circunferência é dado por:

\[\mathrm{r=\frac{CD}{2}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{r=\frac{\sqrt{58}}{2}}}}\]

Muito obrigada aos que tentaram.