Produtos - dúvida

Como partindo de (a*a*...*a)*(b*b*...*b) chego em (a*b)*(a*b)*...*(a*b)?
Imagino que seja por comutativa e/ou associativa, mas não consigo aplicá-las. Gostaria de uma explicação passo a passo.

obs: n fatores para (a*a*...*a) e (b*b*...*b)

A ordem dos fatores não interfere, então, você pode escrever a sequência como

\[ a^n*b^n\to(a*b)^n\]

Por exemplo, digamos que n = 3.

\[a^3*b^3\to(a*a*a)*(b*b*b)\to(a*b)*(a*b)*(a*b)\to(a*b)^3\]

Sabendo que a ordem dos fatores não altera o produto, você pode reorganizar os termos de modo a fazer

\[a^n*b^n\to(a*b)*(a*b)*(a*b)...(a*b)\]

Pode ter ficado confuso, se tiver alguma dúvida posso tentar explicar de outra forma.

r4f4 escreveu:A ordem dos fatores não interfere, então, você pode escrever a sequência como

\[ a^n*b^n\to(a*b)^n\]

Por exemplo, digamos que n = 3.

\[a^3*b^3\to(a*a*a)*(b*b*b)\to(a*b)*(a*b)*(a*b)\to(a*b)^3\]

Sabendo que a ordem dos fatores não altera o produto, você pode reorganizar os termos de modo a fazer

\[a^n*b^n\to(a*b)*(a*b)*(a*b)...(a*b)\]

Pode ter ficado confuso, se tiver alguma dúvida posso tentar explicar de outra forma.

Bom dia, r4f4

Não estou convencido com os seus exemplos. O que você quer dizer com "a ordem dos fatores não altera o produto"?  Isso seria a propriedade comutativa?

 Os números  (a*a*...*a) e (b*b*...*b) são compostos por fatores distintos, mas quando eu os uno com o símbolo "*" é formado um novo número que pode ser representado por  (a*a*...*a)*(b*b*...*b). O que eu poderia fazer com esse objeto para transformá-lo em (a*b)*(a*b)*...*(a*b)? É dito que eu posso remover os parentes e depois juntar cada a com cada b e então colocar esses pares entre parentes, formando n fatores do número (a*b). Mas por que eu posso fazer isso? O que seria esse "juntar"?

Akkon escreveu:

r4f4 escreveu:A ordem dos fatores não interfere, então, você pode escrever a sequência como

\[ a^n*b^n\to(a*b)^n\]

Por exemplo, digamos que n = 3.

\[a^3*b^3\to(a*a*a)*(b*b*b)\to(a*b)*(a*b)*(a*b)\to(a*b)^3\]

Sabendo que a ordem dos fatores não altera o produto, você pode reorganizar os termos de modo a fazer

\[a^n*b^n\to(a*b)*(a*b)*(a*b)...(a*b)\]

Pode ter ficado confuso, se tiver alguma dúvida posso tentar explicar de outra forma.

Bom dia, r4f4

Não estou convencido com os seus exemplos. O que você quer dizer com "a ordem dos fatores não altera o produto"?  Isso seria a propriedade comutativa?

 Os números  (a*a*...*a) e (b*b*...*b) são compostos por fatores distintos, mas quando eu os uno com o símbolo "*" é formado um novo número que pode ser representado por  (a*a*...*a)*(b*b*...*b). O que eu poderia fazer com esse objeto para transformá-lo em (a*b)*(a*b)*...*(a*b)? É dito que eu posso remover os parentes e depois juntar cada a com cada b e então colocar esses pares entre parentes, formando n fatores do número (a*b). Mas por que eu posso fazer isso? O que seria esse "juntar"?

Sim, seria a propriedade comutativa. O símbolo * é a multiplicação, talvez se você pensar sem os () fique mais claro essa possibilidade de reagregar os termos de modo a dar o resultado desejado. Você pode fazer isso justamente pela comutatividade, porque as multiplicações
\[ a*a*a*b*b*b\]

São a exata mesma coisa que

\[a*b*a*b*a*b\]. Você está usando a definição de propriedade comutativa (A propriedade comutativa é uma regra matemática que determina que a ordem em que multiplicamos os números não altera o produto. - fonte Khan Academy) para reordenar os termos, desconsiderando os parênteses. Você poderia pensar que é, na verdade, um grande parênteses que agrega os termos

\[(a*a*a*a...*a)*(b*b*b*b...*b)\to(a*a*a*a...*a*b*b*b*b*...*b)\]. Você coloca os termos em uma ordem "intercalada" de "a"s e "b"s, de forma a criar o termo a*b.

Um exemplo simples:

a.a.b.b = a.b.a.b ---> apenas mudei a posição do a da 2ª para a 3ª posição

E, obviamente (a.b).(a.b) = (a.b)²