Questão - modelo de Böhr

Considerando que a energia necessária para ionizar o átomo de hidrogênio que se encontra no estado fundamental (1s^1) é igual a 21.8 x 10^-19 J, pode-se afirmar que o comprimento de onda associado a uma transição eletrônica no átomo de hidrogênio do nível 3 para o nível 1, em nanômetros, apresenta um valor mais próximo de 
Dados: 
Constante de Planck = 6,62 x 10^-34 
Velocidade da luz = 3 x 10^8 m/s 
Equação de Böhr: Enível = -K/(n^2) 

A) 516,54
B) 421,32
C) 304,25
D) 205,86
E) 102,47

Partimos de
\[E=h\nu\]
onde \(h\) é a constante de Planck e \(\nu\) a frequência do fóton.

Temos também a relação
\[c=\lambda\nu\]
em que \(c\) é a velocidade da luz (constante) e \(\lambda\) o comprimento de onda associado à frequência \(\nu\).
\[\nu=\frac{c}{\lambda}\]
Substituindo \(\nu\) na equação da energia.
\[E=\frac{hc}{\lambda}\]
\[\lambda=\frac{hc}{E}\]
Neste exercício, estamos interessados na diferença de energia entre níveis, então escreveremos
\[\lambda=\frac{hc}{\Delta E}\]
Calculemos agora \(\Delta E\).
\[\Delta E=E_{n=1}-E_{n=3}\]
\[\Delta E=-\frac{K}{1^2}-\left(-\frac{K}{3^2}\right)\]
\[\Delta E=-K+\frac{K}{9}=-\frac{8}{9}K\]
\[\Delta E=-\frac{8}{9}21,\!8\cdot10^{-19}\]
\[\Delta E\simeq -19,\!4\cdot10^{-19}~\text{J}\]
Inserindo os números na equação do comprimento de onda.
\[\lambda=\frac{6,\!62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}{19,\!4\cdot10^{-19}}\]
\[\lambda\simeq 1,\!024\cdot10^{-7}~\text{m} \simeq 102,\!4\cdot10^{-9}~\text{m}\]
\[\color{red} \lambda\simeq 102,\!4~\text{nm}\]
Desconsiderando os pequenos desvios de arredondamento, resposta E.