equação polinomial

por dibasi 28/8/2023, 12:37 pm

Quantas são as raízes reais da equação
X^3-10x^2+5x-1=0, no intervalo (0,3)?

por **Elcioschin** 28/8/2023, 1:35 pm

Para x = 9 ---> 9³ - 10.9² + 5.9 - 1 = - 37

Para x = 10 --> 10³ - 10.10² + 5.10 - 1 = + 49

Existe uma raiz real no intervalo 9 < x < 10 ---> x ~= 9,48

As outras duas raízes são complexas.

por **Giovana Martins** 1/10/2023, 11:10 pm

Seja P(x) = x³ - 10x² + 5x - 1.

Primeiramente, vou fazer alguns testes, quais sejam: calcular P(0) e P(3). Dito isto, P(0) = - 1 e P(3) = - 49.

Teorema de Bolzano:

Sendo (m,n) ∈ ℝ, com m < n, e P(x) contínuo no intervalo [m,n]:

1°) Se P(m)P(n) = 0, m ou n, ou então ambos, é raiz de P(x);

2°) Se P(m)P(n) > 0, P(x) possui um número par de raízes reais ou zero raízes reais em [m,n];

3°) Se P(m)P(n) < 0, P(x) possui um número ímpar de raízes reais em [m,n].

Bom, note que P(0)P(3) > 0. Daqui a única coisa que eu consigo afirmar é que no intervalo (0,3) P(x) possui um número par de raízes reais ou então nenhuma raiz real.

Mas vamos explorar um pouco mais P(x) = x³ - 10x² + 5x - 1. Derivando P(x) chega-se em P'(x) = 3x² - 20x + 5.

Para achar os pontos críticos basta fazer P'(x) = 0, o que nos leva as seguintes raízes: x = (10 ± √85)/3.

Calculando a derivada de segunda ordem de P(x) chega-se em: P''(x) = 6x - 20, logo, para x > 10/3 P(x) tem concavidade voltada para cima e, para x < 10/3, P(x) tem concavidade voltada para baixo.

Deste modo, x = (10 - √85)/3 é ponto de máximo e x = (10 + √85)/3 é ponto de mínimo. O ponto x = 10/3, por sua vez, é um ponto de mudança de concavidade.

Portanto, P((10 - √85)/3) = (170√85 - 1577)/27 < 0 e P((10 + √85)/3) = (- 170√85 - 1577)/27 < 0.

Ou seja, se o valor máximo de P(x) está abaixo do eixo x e a concavidade da curva tem como ponto de transição x = 10/3 > 3, logo, entre 0 e 3 não há nenhuma raiz real.

Poderíamos parar por aqui, pois já conseguimos responder ao que pede o enunciado, mas dá para explorar mais um pouco.

O limite de P(x) quando x tende a menos infinito corresponde a menos infinito e quando x tende a mais infinito, P(x) tende a mais infinito. Deste modo, sabendo os pontos de máximo e mínimo de P(x), além dos pontos máximo e mínimo de P(x) bem como o ponto de transição da concavidade da curva, podemos esboçar o gráfico de P(x).

equação polinomial KrIz0AAAAASUVORK5CYII=

O que a gente consegue garantir, portanto, é que há uma raiz real no intervalo (9,10) (ver ponto "R" indicado em azul).

Nota: o ponto onde eu indiquei máximo, não intersecta o eixo x. É porque o valor é muito pequeno, o que dá a impressão de que o ponto indicado intersecta o eixo x.

Em breve eu volto aqui para indicar como calcular esta raiz.