Equação polinomial

Verifique se a seguinte equação admite pelo menos uma raíz real r, que satisfaz 1 < r < 2.

2x³ - 7x² + 4x + 4 = 0

Resp.: Não admite.



Normalmente, em um intervalo ]a,b[, existe um número par de raízes reais ou não há raiz real nesse intervalo se P(a).P(b) > 0 e existe um número ímpar (e, então, pelo menos uma) de raízes reais se P(a).P(b) < 0. Mas, nesse caso, 2 é uma raíz do polinômio. Ou seja, P(1).P(2) = 0.
Como faço pra analisar as raízes nesse caso? Tenho, obrigatoriamente, que determinar as outras?

O polinômio admite pelo menos uma raiz real

Aplicando o teorema de Bolzano:

Para x = 1 ----> P(1) = 2.1³ - 7.1² + 4.1 + 4 ---> P(1) = 3

Para x = 2 ----> P(2) = 2.2³ - 7.2² + 4.2 + 4 ---> P(2) = 0

Como não existe inversão de sinal, no intervalo ]1, 2[NÃO existe raiz real

Mas, na demonstração do Teorema de Bolzano, esse jogo de sinais se baseia no número de fatores (a-r).(b-r) que aparecem na decomposição de P(a).P(b) sendo r raíz real (o produto das raízes complexas será sempre não-negativo) contida no intervalo ]a,b[.

Como r é interno a ]a,b[, a-r < 0 e b-r>0. Com isso, (a-r).(b-r) < 0.

Se ocorre um número ímpar de fatores como esse, P(a).P(b) < 0. Se ocorre um número par, P(a).P(b) > 0.

Não há informações sobre P(a).P(b) = 0.

Uma raiz de multiplicidade 1 significa a abcissa de um ponto onde o gráfico da questão intercepta o eixo x.

Para interceptar:

1) Sendo a função crescente, o gráfico vem de um ponto de ordenada negativa e vai para outro ponto de ordenada positiva. 

2) Sendo a função decrescente, o gráfico vem de um ponto de ordenada positiva e vai para outro ponto de ordenada negativa.

O Teorema de Bolzano sugere então fazer um teste do sinal da função em dois pontos (intervalo) da função: se o sinal da função mudar, no intervalo existe uma raiz de multiplicidade 1.

Na sua questão temos um intervalo aberto 1 < x < 2
Para x = 1 ---> f(1) > 0 e para x = 2 ----> f(2) = 0
Note que, neste intervalo aberto a função NÃO muda de sinal, logo, não existe raiz de multiplicidade 1 nele

Muito bem, entendi. Não havia pensado nessa interpretação geométrica. Obrigado.

Espere, ainda tenho uma dúvida.

Se pensarmos no gráfico "voltando", depois de cortar o eixo, isso é válido. Mas, e se pensarmos que ele corta o eixo, vai pro 4° quadrante, corta o eixo de novo e, antes de cortar pela 3° vez, para no eixo, configurando uma raíz? 

Assim, podemos ter 1 ou 2 raízes.

teorema de Bolzano-Cauchy

Designado também por Teorema dos Valores Intermédios, é um teorema com grande significado na determinação de valores específicos, nomeadamente zeros, de certas funções reais de variável real. Este teorema foi enunciado pela primeira vez em 1817, por Bernard Bolzano (1781-1848), um sacerdote, matemático e filósofo, nascido em Praga. É-lhe também por vezes associado um coautor de nome Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemático e físico francês, discípulo de matemáticos conterrâneos como Pierre Simon Laplace e Joseph Louis de Lagrange.
O referido teorema pode ser enunciado da seguinte forma:
"Se é uma função contínua num intervalo fechado , e k um número real compreendido entre e , então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto tal que = k ".



Como exemplo esclarecedor, consideremos é uma função contínua num intervalo fechado . Se traçarmos uma reta horizontal y = k, em que , esta intersetará o gráfico de em pelo menos um ponto, neste caso de coordenadas (c, k).
No caso particular de k = 0, a reta será y = 0, ou seja, o eixo Ox, pelo que cada c corresponderá a um zero de . Por isso mesmo, este teorema tem especial importância na localização de zeros de determinadas funções (principalmente funções em que não é possível obter os seus zeros por meros processos algébricos), através de um seu corolário, que a seguir se enuncia:
"Se é uma função contínua num intervalo fechado e e têm sinais contrários, então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto tal que = 0", ou de outra forma, "se é uma função contínua num intervalo fechado e x < 0, então existe pelo menos um zero de num intervalo aberto ".


Como referenciar este artigo:
teorema de Bolzano-Cauchy. In Infopédia [Em linha]. Porto: Porto Editora, 2003-2013. [Consult. 2013-12-20].
Disponível na www: http://www.infopedia.pt/$teorema-de-bolzano-cauchy>.

Guilherme

Um fato importante a ressaltar é que x = 2 é uma raiz dupla

Neste caso, para x > 2 a função é sempre crescente.
Em x = 2 a curva tangencia o eixo x por cima.
Entre x = 1 e x = 2 a curva é decrescente e sempre positiva, logo, no intervalo 1 < x < 2 a curva não toca nem corta o eixo x, isto é, não tem raízes reais neste intervalo.

Mestre

A parte de ocorrer inversão de sinal eu entendi: "se ocorre inversão de sinal, então existe pelo menos uma raíz real no intervalo (existe um número ímpar de raizes no intervalo".

Mas, quando não ocorre inversão de sinal, ainda estou um pouco confuso. 

Elcioschin escreveu:Para x = 1 ----> P(1) = 2.1³ - 7.1² + 4.1 + 4 ---> P(1) = 3

Para x = 2 ----> P(2) = 2.2³ - 7.2² + 4.2 + 4 ---> P(2) = 0

Como não existe inversão de sinal, no intervalo ]1, 2[NÃO existe raiz real

Em (x-1)(x-2) = 0, não ocorre inversão de sinal para 0 e 3, mas há raízes reais no intervalo.

No exemplo do enunciado, o grau da equação é pequeno, então podemos usar Briot-Ruffini e analisar separadamente as raízes (concluindo que 2 é raíz dupla).

Mas, quando o grau é muito grande (grau 8, por exemplo), daria muito trabalho operar dessa forma.

Gabriel

Você está certo, o teorema de Bolzano garante apenas que, havendo inversão de sinais num certo intervalo, existe pelo menos uma raiz real neste intervalo.

Assim, poderá haver um número ímpar de raízes reais neste intervalo.

Agora o contrário não é obrigatoriamente verdadeiro: não havendo inversão de sinais não é garantido que não existam raízes no intervalo: poderá não haver nenhuma raiz bem como poderá haver um número par de raízes no intervalo (podendo ser raízes simples, duplas, quádruplas, etc).

Assim a solução para o atual problema é usar outras técnicas: raízes racionais, Briott-Ruffini, etc)