Equação Polinomial

por Pedro H. V. Qui 20 Out 2016, 21:40

Determine a soma dos inversos dos quadrados das raízes da equação x³ - 2x² + x -4 =0

Gabarito: -15/16

por **Elcioschin** Qui 20 Out 2016, 22:10

x³ - 2x² + x -4 = 0 ---> Raízes r, s, t

Relações de Girard

r + s + t = - (-2)/1 ---> r + s + t = 2 ---> I

r.s + r.t + s.t = 1/1 ---> r.s + r.t + s.t = 1 ---> II

r.s.t = - (-4)/1 ---> r.s.t = 4 ---> III

II ---> (r.s + r.t + s.t)² = 1² ---> (r.s)² + (r.t)² + (s.t)² + 2.[(r + s + t).(r.s.t)] = 1 --->

(r.s)² + (r.t)² + (s.t)² + 2.(2.4) = 1 ---> (r.s)² + (r.t)² + (s.t)² = - 15

1/r² + 1/s² + 1/t² = [(r.s)² + (r.t)² + (s.t)²)/(r.s.t)² = -15/4² = - 15/16

por RenataRodrigues Qui 20 Out 2016, 22:12

Sejam a, b e c s raízes dos polinômio:

1/a² + 1/b² + 1/c² = (b²c² + a²c² + a²b²)/(abc)²

Por Girard, temos que:
(ab + bc + ac) = 1
(ab + bc + ac)² = 1²
a²b² + b²c² + a²c² +2abc(a + b + c) = 1

a + b + c = 2
abc = 4
.:. a²b² + b²c² + a²c² = 1 - 16 = -15
...

por Pedro H. V. Qui 20 Out 2016, 22:16

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