(ITA-SP) Equação Polinomial

por lucariomiles Seg 18 Dez 2017, 19:38

[size=20]Por favor, me ajudem estou completamente perdido!!!
O polinômio com coeficientes reais P(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas raízes são 2 e i. Determine a soma dos coeficiente é igual a:
A) -4
B) -6
C) -1
D) 1
E) 4[/size]

lucariomilesiniciante

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por **Elcioschin** Seg 18 Dez 2017, 20:04

Deve haver algum erro no enunciado:

1) A equação do 5º grau tem 5 raízes
2) Duas são distintas (r, s) e tem multiplicidade 2 ---> (x - r)².(x - s)²
3) Uma raiz é 2 --> (x - 2)
4) Se uma raiz é i, obrigatoriamente existe outra -i (conjugada) ---> (x - i).(x + i) = x² + 1

Somando temos 7 raízes, o que contraria a equação do 5º grau

por lucariomiles Seg 18 Dez 2017, 20:20

Elcioschin escreveu:Deve haver algum erro no enunciado:

1) A equação do 5º grau tem 5 raízes
2) Duas são distintas (r, s) e tem multiplicidade 2 ---> (x - r)².(x - s)²
3) Uma raiz é 2 --> (x - 2)
4) Se uma raiz é i, obrigatoriamente existe outra -i (conjugada) ---> (x - i).(x + i) = x² + 1

Somando temos 7 raízes, o que contraria a equação do 5º grau

mas vc não esta contando que tanto 2 quanto i e -i poção ter multiplicidade 2, oque nada impede isso de acontecer

por superaks Seg 18 Dez 2017, 20:23

@Edit

Resposta errada

por **Elcioschin** Seg 18 Dez 2017, 20:32

lucariomiles

Se for como você diz: (x - 2).(x - i)².(x + i)² = (x - 2).(x² + 1)² = x⁵ - 2.x⁴ + 2.x³ - 4.x² + x - 2

Soma dos coeficientes = - 4

por lucariomiles Seg 18 Dez 2017, 20:32

superaks escreveu:A soma dos coeficientes será P(1)

P(1) = 1 + a + b + c + d + e

a + b + c + d + e = - 1

não tem como saber se 1 é raiz

por superaks Seg 18 Dez 2017, 20:41

Perdão, viajei. Eu li que 1 era raiz. Segue a resposta do mestre

por lucariomiles Seg 18 Dez 2017, 21:00

Elcioschin escreveu:lucariomiles

Se for como você diz: (x - 2).(x - i)².(x + i)² = (x - 2).(x² + 1)² = x⁵ - 2.x⁴ + 2.x³ - 4.x² - x - 2

Soma dos coeficientes = - 6

achei um gabarito da questão e é -4, mas não sei como resolver

por superaks Seg 18 Dez 2017, 21:56

Como o mestre colocou, as raízes são i e - i de multiplicidade 2, e 2.

Podemos escrever todo polinômio como produto de suas raízes no seguinte formato

P(x) = a(x - r1)(x - r²)* ... * (x - rn)

Onde r1, r2, ..., rn são as n raízes desse polinômio, é a é o coeficiente angular do monômio de maior grau.

Logo, temos

P(x) = (x - i)²(x + i)²(x - 2)

A soma dos coeficientes é dado por P(1)

P(1) = (1 - i)²(1 + i)²(1 - 2)

P(1) = (1 - i²)² . (- 1)

P(1) = (1 + 1)² . (- 1)

P(1) = - 4