Retas do Feixe Tangentes à Circunferência

Determine as retas do feixe: λ(2x+y+5)+u(x+y+1)=0 tangentes à circunferência de equação x²+y²-2x-6y+5=0


Resposta:x-2y+10+0 e x+2y-2=0

[latex] \alpha (2x+y+5)+\beta(x+y+1)=0 [/latex]

A reta 2x+y+5 =0  intersecta a reta x+y+1=0 no ponto (-4,3), portanto todas as retas do feixe passam pelo ponto (-4,3). Logo são da forma y -3 = m(x+4).

x²+y²-2x-6y+5=0 ⇔ (x-1)² +(y-3)³ = 5.

O centro da circunferência é (1,3) e seu raio é raiz de 5. A reta deve distanciar raiz de 5 do centro.
Usando distância de reta a ponto:

[latex] \dfrac{|-m+3-3-4m|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{5} \iff \dfrac{5|m|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{5}  \iff 5+5m^2 =25m^2 \iff m =\pm \dfrac{1}{2}[/latex]

Logo as duas retas são 2(y -3) = (x+4) ⇔ 2y-x -10 = 0 e 2(y -3) = -(x+4) ⇔2y+x-2=0.