Formula de recorrência

Uma pessoa deve pintar uma sequência de n blocos, n ≥ 1 , com as cores vermelha, azul e branca, cada bloco com uma única cor. Faça o que se pede:  
Se a_n denota o número de sequências distintas com n blocos de cores sortidas (cores vermelha, azul ou branca) enfileirados de modo que blocos consecutivos não podem ser pintados de branco, encontre uma relação de recorrência para a_n. Justifique

Seja     [latex]b_n[/latex] a quantidade de sequências de n blocos sem 2 brancos consecutivos com último elemento um bloco branco. E seja     [latex]c_n[/latex] a quantidade de sequências de n blocos sem 2 brancos consecutivos com último elemento  não branco.

Temos     [latex]a_{n} = b_n+c_n[/latex].

Dada qualquer sequência de n termos, podemos adicionar um bloco azul ou vermelho que será uma sequência com n+1 blocos e o último bloco será não branco. Portanto:



    [latex]c_{n+1} =2\cdot a_n = 2\cdot \left(b_n+c_n\right)[/latex]


Para adicionar um bloco branco a uma sequência de n elementos, ela deve acabar com um bloco não branco (senão obtemos 2 brancos seguidos), portanto:

    [latex]b_{n+1} =c_n[/latex]


Temos portanto:
    [latex]a_n = b_n+c_n = c_{n-1}+c_n = c_{n-1}+2\cdot a_{n-1} = 2\cdot a_{n-2} +2\cdot a_{n-1}[/latex]


    [latex]a_n = 2\cdot a_{n-2} +2\cdot a_{n-1}[/latex]


Creio que seja isso, mas nunca se sabe .