Complexos / trigonometria

Determine o valor das expressões:

a) M= tg^2 (π/7) + tg^2 (2π/7) + tg^2 (3π/7)

b) P= tg(π/7) * tg(2π/7) * tg(3π/7)

Na revista eureka volume 33 tem um artigo chamado "associando um polinomio a expressões algébricas e trigonométricas" que explica essa técnica que a Giovana usou. Tem vários exercícios também, inclusive esses que vc passou devem estar lá. A ideia é dados \(\alpha, \beta, \gamma \), encontrar um polinômio \(p\) que possua exatamente esses valores como raízes. E daí aproveitar as relaçoes de Girard pra calcular o que quer que seja necessário.

Entretanto nem sempre é simples achar o polinômio, cada caso é um caso. Uma coisa que pode ser explorada em algumas situações são as raízes da unidade. Em geral elas são uteis pra expressões envolvendo senos e cossenos. Eu vou fazer isso mas tenha em mente que a maneira da Giovana é bem mais direta nesse problema.

Sejam \(A  =  \cos \dfrac \pi7, B = \cos \dfrac{2 \pi} 7 , C = \cos \dfrac{3 \pi}7\) e considere:

\(w  = \exp \left( \dfrac {2 \pi i}7 \right) = \cos \dfrac{2 \pi}7 + i \cdot \sin \dfrac{2 \pi} 7\)

Repare que \(w\) é raíz da equação \(x^7 = 1\). E como \(w \neq 1\) fatorando segue que

\( x^7 - 1 = 0 \implies (x-1)(1+x+x^2 +x^3 + x^4 +x^5 +x^6) = 0\)

Ou seja, \(w\) é raiz de \(1+x+x^2 +x^3 + x^4 + x^5 +x^6 = 0\). E as demais raízes dessa equação são justamente \(w^2, w^3, w^4,w^5, w^6\). Repare que

\( w + w^6 = 2 \cos \dfrac {2\pi} 7 = 2B\)

\(w^2 + w^5 = 2 \cos \dfrac{ 4 \pi} 7 = -2C\)

\( w^3 + w^4 = 2 \cos \dfrac {6 \pi} 7 = -2A\)

Assim, pelas relações de Girard temos

\(  -2A+2B-2C = w + w^2 + w^3 + w^4 + w^5 +  w^6 = -1  \implies \boxed{ A-B+C = \dfrac{1}2} \)

Por outro lado,

\( -4AB -4BC + 4CA = (w+w^6)(w^2 + w^5) + (w^3+w^4)(w^2 + w^5) + (w+ w^6)(w^3 + w^4)\)

Efetuando o produto e usando que w⁷=1 teremos

\(4 (-AB - BC + CA) = 2 (w+w^2 + w^3 + w^4 + w^5 + w^6) = -2 \implies \boxed{AB+BC -CA = \dfrac 12}\)

Também temos

\( 8ABC = (w+w^6)(w^2 + w^5) (w^3 + w^4) = w^6 (1+w^5)(1+w^3)(1+w) = w^6 (1 + w + w^3 + w^4 + w^5 + w^6 + w^8 + w^9) \implies \)

\( 8ABC = w^6 ( 1 + \underbrace{w + w^2 + w^3 + w^4 + w^5+ w^6}_{-1} + w) = w^6 w = 1 \implies \boxed{ABC = \dfrac 18}\)

Agora já podemos resolver o problema. Recordamos que \( \tan^2 \theta = \sec^ 2 \theta -1\) . Logo:


\( M =  \tan^2 \dfrac \pi 7 + \tan^2 \dfrac {2 \pi}7 + \tan^2 \dfrac{3 \pi}7  \implies \)

\( M = \sec^2 \dfrac \pi 7 + \sec^2 \dfrac {2 \pi}7 + \sec^2 \dfrac{3 \pi}7 - 3  \implies \)

\(M = \dfrac 1{A^2} + \dfrac 1{B^2} + \dfrac{1}{C^2} - 3 = \dfrac{A^2B^2 + A^2C^2 + B^2C^2}{(ABC)^2} - 3\)


Das relações anteriores temos

\( (AB + BC - CA)^2 = (A^2B^2 + B^2C^2 + C^2A^2) - 2ABC(A-B+C)  \implies \)

\( \dfrac 14 = (A^2B^2 + B^2C^2 + C^2A^2) - 2 \cdot \dfrac 18 \cdot \dfrac 12 \implies  \)

\( \boxed{ A^2B^2 + B^2C^2 + C^2A^2 = \dfrac 38}\)

Logo:

\(M = \dfrac{ \dfrac 38}{ \left(\dfrac 18 \right)^2} - 3 \implies \boxed{M =  21}\)


Para o segundo item notamos que

\(P = \sqrt{ \sec^2 \dfrac \pi 7 -1}  \cdot \sqrt{ \sec^2 \dfrac {2\pi }7 -1} \cdot \sqrt{ \sec^2 \dfrac {3\pi} 7 -1}  \implies \)

\( P^2 = \left( \dfrac 1{A^2} - 1 \right) \cdot\left( \dfrac 1{B^2} - 1 \right) \cdot \left( \dfrac 1{C^2} - 1 \right)  \implies \)

\(P^2 =  \dfrac{ 1 - (A^2+ B^2+C^2) + (A^2B^2 + B^2C^2 + C^2A^2) - (ABC)^2}{(ABC)^2} \)

Da identidade

\((A-B+C)^2 = (A^2+B^2 + C^2) - 2(AB + BC -CA) \implies \boxed{A^2 + B^2 + C^2 = \dfrac 54}\)

Logo

\(P^2 = \dfrac{1 - \dfrac 54 + \dfrac 38 + \left( \dfrac 18 \right)^2}{ \left( \dfrac 18 \right)^2} \implies \boxed{P = \sqrt 7}\)


OBS.: tem um truque que facilita algumas dessas contas. Consiste em observar que ao dividir a equaçao 1+x+x²+...+x⁶ = 0 por x³ e utilizar a mudança de variável t = x+1/x obtemos um polinomio de grau 3 cujas raízes são -2A, - 2B, 2C.
OBS2.: considerando \(z= cos \frac \pi 7 + i \cdot \sin \frac \pi 7\) uma análise similar poderia ser feita a partir de z⁷=-1.