Números complexos e trigonometria

por wellisson-vr@hotmail.com Ter 28 Jan 2014, 16:07

O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura abaixo.
Números complexos e trigonometria 2010

É correto afirmar que o conjugado de z²
tem afixo que pertence ao:

a)1º quadrante.
b)2º quadrante.
c)3º quadrante.
d)4º quadrante.

por Wilson Calvin Ter 28 Jan 2014, 17:32

z = a + bi --> z² = a² - b² + 2abi

seu conjugado é a² - b² - 2abi

sendo l o lado do triângulo
a = l/2 e b = lsqrt3/2 => a² = l²/4 e b² = 3l²/4, logo:

a² - b² = -l²/2 ---> que é representado no eixo dos reais.
é visível que a parte imaginária será representada na parte negativa, mas só pra conferir.
-2abi = (-l.sqrt3.i)/2

logo terceiro quadrante, item c

por wellisson-vr@hotmail.com Ter 28 Jan 2014, 19:29

obrigado amigão, mas alguém sabe outro método de resolver essa questão?

por **Willian Honorio** Sex 09 Jun 2017, 21:11

Outro modo mais explicativo do ponto de vista algébrico:

$z^{2}=a^{2}-b^{2}+2.a.b.i\\\bar{z}^{2}=a^{2}-b^{2}-2.a.b.i$

A partir do triângulo retângulo da figura:

$\sin 60=\frac{b}{\left \| z \right \|}\rightarrow b^{2}=\left \| z \right \|^{2}.\sin ^{2}60\\\cos 60=\frac{a}{\left \| z \right \|}\rightarrow a^{2}=\left \| z \right \|^{2}.\cos ^{2}60\\a^{2}-b^{2}=\left \| z \right \|^{2}.\cos 120\\\\\bar{z}^{2}=\underbrace{\left \| z \right \|^{2}.\cos 120}_{<0}\underbrace{-2.i.\left \| z \right \|^{2}.\cos 60.\sin 60}_{<0}\\Re(\bar{z}^{2})<0\,\,\vee Im(\bar{z}^{2})<0\Rightarrow \boxed{\bar{z}^{2}\in [\pi ,\frac{3\pi }{2}]}$