Números Complexos e trigonometria

por vhendala Sáb 22 Ago 2015, 14:48

Prove que:

$\frac{1+senx+icosx}{1-senx-icosx}=(tgx+secx)i$

Para todo x real e
$x\neq \frac{\pi}{2} + k\pi$

Agradeço desde já Smile

por **Carlos Adir** Dom 23 Ago 2015, 14:45

Primeiramente temos que tirar a parte imaginária do denominador. E como fazemos isso?
Para isso multiplicamos pelo conjugado:
$\\ \mathrm{ \dfrac{z}{a+bi} = \dfrac{z(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}=\dfrac{z(a-bi)}{a^2-i^2 \cdot b^2} = \dfrac{z(a-bi)}{a^2+b^2}}$
Então utilizando na questão:
$\\ \mathrm{\dfrac{1+sen \ x + i \cdot cos \ x} { (1-sen \ x) - i \cdot cos \ x}= \dfrac{[\left(1+sen \ x \right ) + i \cdot cos \ x ][(1-sen \ x) + i \cdot cos \ x] }{[(1-sen \ x)-i \cdot cos \ x] [ (1-sen \ x)+i \cdot cos \ x ]}=} \\ \mathrm{=\dfrac{(1+sen \ x)(1- sen \ x) + i^2 \cdot cos^2 \ x + i \cdot cos \ x\left[(1+sen \ x)+(1-sen \ x) \right ]}{(1-sen \ x)^2 + (cos \ x) ^2}=} \\ \mathrm{=\dfrac{1-sen^2 \ x - cos^2 \ x + 2i \cdot cos \ x }{1-2sen \ x + (sen^2 \ x + cos^2 \ x)}=\dfrac{1 - (sen^2 \ x + cos^2 \ x) + 2i \cdot cos \ x}{1-2sen \ x + 1}=} \\ \mathrm{=\dfrac{1-1 + 2i \cdot cos \ x}{2(1-sen \ x)}=\dfrac{i \cdot cos \ x}{1- sen \ x}}$

Ou seja, temos que:
$\mathrm{\dfrac{1+sen \ x + i \cdot cos \ x}{1 - sen \ x - i \cdot cos \ x}= i \left(\dfrac{cos \ x}{1-sen \ x} \right )}$

Mas temos isso, teremos que trabalhar um pouco mais:
$\mathrm{\dfrac{cos \ x}{1-sen \ x} = \dfrac{cos \ x ( 1 + sen \ x)}{(1-sen \ x)(1+sen \ x)}= \dfrac{cos \ x (1+sen \ x)}{1-sen^2 \ x} = \dfrac{cos \ x ( 1+ sen \ x)}{cos^2 \ x}=\dfrac{1+sen \ x}{cos \ x}}$

Logo:
$\mathrm{\dfrac{cos \ x}{1-sen \ x} =\dfrac{1+sen \ x}{cos \ x}= tan \ x + sec \ x}$

$\boxed{\mathrm{\dfrac{1+sen \ x + i \cdot cos \ x}{1-sen \ x - i \cdot cos \ x} = i \left(tan \ x + sec \ x \right )}}$

Ficou bem longo, mas está detalhado passa a passo. Dá pra ir direto em alguns pontos, como na multiplicação pelo conjulgado, mas fica a critério de cada um a maneira de fazer que mais entende.

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