Números complexos + trigonometria

por jopagliarin Seg 31 Jan 2022, 11:37

Uma das raízes sextas de um número complexo z é w = 5(cos10º + i.sen10º). Logo, qual é a raiz desse número complexo que se localiza no quarto quadrante do plano de Argand-Gauss?

gabarito:

por aitchrpi Seg 31 Jan 2022, 12:07

Se w é uma das raízes sextas, w^6 = z. Logo, z = 5⁶[cos(60) + i sin(60)]. Se r é a raiz procurada, r = 5[cos(a) + i sin(a)].

r⁶ = 5⁶[cos(6a) + i sin(6a)]. Mas cos(6a) + i sin(6a) = cos(60) + i sin(60)

Então, 60 = 6a (mod 360). Ou seja, (60 - 6a)/360 é inteiro --> (10 - a)/60 é inteiro.
Assim, a = 60n + 10 para todo n inteiro é solução da equação acima.

Mas 270 < a < 360 ---> 270 < 60n + 10 < 360 ---> 260 < 60n < 350
Como n é inteiro, a unica possível resposta é n = 5, já que 60*5 = 300

Então a = 60*5 + 10 = 310

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