questão sobre números complexos e trigonometria.

por kawamendes Sex 29 Set 2023, 15:29

Sejam [latex]z_{1}= 3+bi[/latex]  ,[latex]z_{2}= c+i[/latex] e [latex]z_{3}[/latex]=2(cosα+i senα) números complexos, em que b, c e α são números reais com b ≠ 0 e 0 ≤ α<2 π Assinale o que for correto.
01) Existem b e α tais que [latex]z_{1}=z_{3}[/latex] .
02) Existe exatamente um valor para α tal que [latex]\left ( z_{3} \right )^{3}[/latex]  é um número real.
04) Se [latex]z_{1}[/latex] ,[latex]z_{2}[/latex] e 0 são raízes do polinômio com coeficientes reais[latex]P\left ( x \right )= x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}[/latex], então  [latex]a_{2}[/latex]= −6.

08) Representando [latex]z_{1}[/latex] e [latex]\frac{1}{z_{1}}[/latex] no plano de Argand-Gauss, esses números estão no mesmo quadrante.

16) Escrevendo [latex]z_{2}[/latex] na forma trigonométrica, com argumento β entre 0 e 2π, temos que β≥π.

alguém me explica pq a 04 está certa.

por **Elcioschin** Sex 29 Set 2023, 18:20

..... com b ≠ 0 e 0 2 ≤ α< π ... É 0 ou 2 ?

01) z1 = z3 ---> 3 + b.i = 2.cosα + i.2.senα ---> 2.cosα = 3 ---> cosα = 3/2 ---> impossível

02) z3 = 2.[cosα + i.senα] --> (z3)³ = 2³.[cosα + i.senα]³---> (z3)² = 8.[cos(3.α) + i.sen(3.α)]

Para (z3)³ ser real ---> sen(3.α) = 0 ---> α = k.pi --> complete

04) Devemos ter apenas 3 raízes do polinômio e para cada raiz complexa teremos 4 raízes. Opa!

Isto só é possível se z1 = z2 ---> 3 + b.i = c + i ---> b = 1 e c = 3

z1 = z2 = 3 + i ---> Raiz complexa ---> z1' = 3 - i é raiz conjugada

Já temos as 3 raízes: 3 + i, 3 - i, 0

Aplique agora as Relações de Girard:

1) Soma das raízes = - a2
2) Produto das raízes duas a duas = a1
3) Produto das raízes = -a0

Complete

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