Questão sobre polinômios e números complexos

por Gustavo Reolon Qua 09 maio 2018, 11:41

UPF inverno 2017, questão 41:

Sabe-se que 1 + i é uma das raízes da equação x^4 - 2x^3 + 4x -4 = 0. Pode-se afirmar, dessa forma, que essa equação

a) possui raízes racionais e iguais.
b) possui raízes racionais e diferentes
c) possui raízes irracionais e iguais
d) não possui raízes reais
e) possui raízes irracionais e diferentes

Gabarito: E

por Rainier Qua 09 maio 2018, 12:17

1- Se 1+i é raiz, aplique Briot Ruffini: encontrará uma equação de terceiro grau de forma x^3 + (i-1)x^2 - 2x + (2-2i)
2- Por definição, o conjugado de 1+i também é raiz (1- i). Aplique Briot Rufini de novo, e encontrará uma equação de segundo grau incompleta: x^2 = 2 de raízes +√2 e -√2

Assim, podemos afirmar que ela possui raízes irracionais e diferentes! Bons estudos.

por Gustavo Reolon Qua 09 maio 2018, 12:21

Ótimo, muito obrigado!

por **Elcioschin** Qua 09 maio 2018, 13:29

Outro modo:

Se (1 + i) é raiz, outra raiz é a raiz conjugada (1 - i)

[x - (1 + i)].[x - (1 - i)] = [(x - 1) - i].[(x - 1) + i] = (x - 1)² - i² = x² - 2.x + 2

Basta agora dividir o polinômio por (x² - 2.x + 2).
O quociente será um novo polinômio do 2º grau. Basta calcular as outras duas raízes