Números complexos + polinômios (UFPE)

por nathaliacooper Ter 30 Jun 2015, 21:42

Se o número complexo 3 + 2i é raiz da equação x^3 – 23x + c , com c sendo uma constante real, qual o valor de c?

Justificativa:

3 + 2i é raiz da equação x² – 6x + 13 e,
dividindo x^3 – 23x + c por este polinômio obtemos quociente x + 6 e resto c – 78. Para o resto ser zero devemos tomar c = 78.

A divisão de polinômios eu entendi, só não lembro como descobrir como 3+2i é raíz da equação x² - 6x + 13 Question

por **Ashitaka** Ter 30 Jun 2015, 21:59

É desnecessário fazer tudo isso para obter c. Bastaria substituir 3 + 2i na equação original e igualar a 0 para encontrar c.
Entretanto, se quer saber se 3 + 2i é raiz da equação x² - 6x + 13, basta igualá-la a 0 e resolver como qualquer outra.

por **Elcioschin** Ter 30 Jun 2015, 22:10

Ele só NÃO explicou como chegou na equação x² - 6x + 13 = 0

x³ + 0.x² - 23.x + c = 0

Se s = 3 + 2i é uma raiz da equação, t = 3 - 2i é outra raiz (conjugada)

Seja r a 3ª raiz

Girard:

r + s + t = - b/a ----> r + (3 + 2i) + (3 - 2i) = - 0/1 ---> r + 6 = 0 ---> r = - 6

r.s.t = c/a ---> - 6.(3 + 2.i).(3 - 2.i) = c/1 ---> - 6.(9 + 4) = c ---> c = - 78

Resposta certa ---> c = - 78 (e não c = 78)

E, se quiser saber como achar as raízes de x² - 6x + 13 = 0 basta aplicar Bhaskara

por nathaliacooper Ter 30 Jun 2015, 22:21

Elcioschin escreveu:Ele só NÃO explicou como chegou na equação x² - 6x + 13 = 0

x³ + 0.x² - 23.x + c = 0

Se s = 3 + 2i é uma raiz da equação, t = 3 - 2i é outra raiz (conjugada)

Seja r a 3ª raiz

Girard:

r + s + t = - b/a ----> r + (3 + 2i) + (3 - 2i) = - 0/1 ---> r + 6 = 0 ---> r = - 6

r.s.t = c/a ---> - 6.(3 + 2.i).(3 - 2.i) = c/1 ---> - 6.(9 + 4) = c ---> c = - 78

Resposta certa ---> c = - 78 (e não c = 78)

E, se quiser saber como achar as raízes de x² - 6x + 13 = 0 basta aplicar Bhaskara

Obrigada pelo esclarecimento Very Happy

o que eu queria saber é realmente isso "Ele só NÃO explicou como chegou na equação x² - 6x + 13 = 0"
porque as raízes eu sei calcular por Bhaskara :/

por **fantecele** Ter 30 Jun 2015, 23:01

ele apenas montou uma equação de 2º grau com a soma e produto do 3 +2i e seu conjugado. Soma(S) = 3+2i + 3-2i = 6
Produto(P) = (3+2i).(3-2i) = 13
como você tem a soma e o produto de dois números da para montar uma equação de 2° grau do tipo x² + bx + c = 0
com os dados acima fica (-b/a) = 6, com a = 1 temos b = -6
e (c/a) = 13, com a =1 temos c = 13

então a equação fica x² -6x + 13 = 0
acho que é isso...

por nathaliacooper Qua 01 Jul 2015, 09:12

fantecele88 escreveu:ele apenas montou uma equação de 2º grau com a soma e produto do 3 +2i e seu conjugado. Soma(S) = 3+2i + 3-2i = 6
Produto(P) = (3+2i).(3-2i) = 13
como você tem a soma e o produto de dois números da para montar uma equação de 2° grau do tipo x² + bx + c = 0
com os dados acima fica (-b/a) = 6, com a = 1 temos b = -6
e (c/a) = 13, com a =1 temos c = 13

então a equação fica x² -6x + 13 = 0
acho que é isso...

Obrigaaada, era isso mesmo que eu queria saber Very Happy