Q57 do Livro FME Vol. 2 - Propriedades de potência

Q57. Determine o valor da expressão (2^n + 2^n-1)(3^n - 3^n-1), para todo n, para todo n.

Questão retirada do Livro Fundamentos da Matemática Elementar Vol. 2

Segue abaixo meu raciocínio, por favor me apresentem a explicação passo a passo de como prosseguir, ou mostre-me onde errei e qual a maneira correta de resolver a questão.

Ele quer que vc simplifique essa expressão, mas como não é uma questão de marcar, não da pra saber exatamente onde é pra chegar. Daí o que vc fez está tecnicamente correto. Posso acrescentar que vc poderia escrever a expressão que vc chegou da seguinte forma:

\(6^n - 6^{n-1} - 6^{n-1} \cdot 2 + 6^{n-1} \cdot 3 = \)

\(6^n - 6^{n-1} ( -1 -2 +3) = 6^n\)


Outra maneira de chegar nisso seria:

\( (2^n + 2^{n-1} )( 3^n - 3^{n-1}) = \)

\( (2 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} )( 3 \cdot 3^{n-1} - 3^{n-1}) = \)

\( 2^{n-1}(2 + 1 ) 3^{n-1} ( 3-2) = \)

\(2^{n-1} \cdot 3 \cdot 3^{n-1} \cdot 2 = 2^n \cdot 3^n = 6^n \)

Olá! 

Ao invés do você multiplicar os termos direto, pode-se por o 2^n e o 3^n em evidência nos seus respectivos parênteses. Desse modo:

[latex](2^n+2^n-1).(3^n-3^n-1)

(2^n+2^n/2).(3^n-3^n/3)

(2^n.(1+1/2)).(3^n.(1-1/3))

(2^n.(3/2)).(3^n.(2/3)) [/latex]


Agora você pode fazer a multiplicação normalmente. Segue abaixo:

[latex](2^n.(3/2)).(3^n.(2/3))

2^n.3^n.(3/2 . 2/3)

2^n.3^n

(2.3)^n

6^n[/latex]

Muito obrigado, pessoal! Foi de grande ajuda, fiquem com Deus.