Duas funções arctg com mesma derivada

por Zeis Qua 28 Dez 2022, 12:30

1, Por que razão as funções [latex]y=\arctan \frac{a+x}{1-ax}[/latex] e [latex]y=\arctan x[/latex] tem a mesma derivada?

por **gilberto97** Qui 29 Dez 2022, 00:03

Boa noite.

y = arctan( (a+x) / (1 - ax)) = arctan(u)

y' = u' / 1 + u²

u' = [(1-ax) - (a+x)(-a)] / (1-ax)²

u' = (1+a²) / (1-ax)²

1 + u² = 1 + (a+x)² / (1 - ax)² = [(1 - ax)² + (a+x)²] / (1 - ax)²

= (1 - 2ax + a²x² + a² + 2ax + x²) / (1 - ax)²

= (1+a²)(1+x²) / (1 - ax)²

Fazendo u'/(1 + u²) = (1+a²) / [(1+a²)(1+x²)] = 1 / (1 + x²)

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