Duas funções arctg com mesma derivada
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Duas funções arctg com mesma derivada
por Zeis Qua 28 Dez 2022, 12:30
1, Por que razão as funções [latex]y=\arctan \frac{a+x}{1-ax}[/latex] e [latex]y=\arctan x[/latex] tem a mesma derivada?
Zeis- Mestre Jedi
- Mensagens : 530
Data de inscrição : 16/03/2020
Re: Duas funções arctg com mesma derivada
por gilberto97 Qui 29 Dez 2022, 00:03
Boa noite.
y = arctan( (a+x) / (1 - ax)) = arctan(u)
y' = u' / 1 + u²
u' = [(1-ax) - (a+x)(-a)] / (1-ax)²
u' = (1+a²) / (1-ax)²
1 + u² = 1 + (a+x)² / (1 - ax)² = [(1 - ax)² + (a+x)²] / (1 - ax)²
= (1 - 2ax + a²x² + a² + 2ax + x²) / (1 - ax)²
= (1+a²)(1+x²) / (1 - ax)²
Fazendo u'/(1 + u²) = (1+a²) / [(1+a²)(1+x²)] = 1 / (1 + x²)
Recomendo o site: https://www.derivative-calculator.net/
y = arctan( (a+x) / (1 - ax)) = arctan(u)
y' = u' / 1 + u²
u' = [(1-ax) - (a+x)(-a)] / (1-ax)²
u' = (1+a²) / (1-ax)²
1 + u² = 1 + (a+x)² / (1 - ax)² = [(1 - ax)² + (a+x)²] / (1 - ax)²
= (1 - 2ax + a²x² + a² + 2ax + x²) / (1 - ax)²
= (1+a²)(1+x²) / (1 - ax)²
Fazendo u'/(1 + u²) = (1+a²) / [(1+a²)(1+x²)] = 1 / (1 + x²)
Recomendo o site: https://www.derivative-calculator.net/
gilberto97- Fera
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