Mostrar equivalência de derivada pela função da mesma

1. Se [latex]f(x) \equiv (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_m) [/latex]  mostrar que


[latex]\frac{f(x)')}{f(x)}=\sum_{x-x_r}^{r=m}, \frac{f(x)"}{f(x)}=\sum_{r=1}^{r=m}\sum_{s=r+1}^{s=m}\frac{2}{(x-x_r)(x-x_s)} [/latex]

Parece que o enunciado faltou um pedaço, mas vou completar com o que eu acho que é.

Considere \(p_r(x) = x - x_r\). Ou seja:

\(p_1(x) = x-x_1\)
\(p_2(x) = x-x_2\)
...
\(p_m(x) = x-x_m\)

Temos então \(f(x) = p_1(x) p_2(x) \cdots p_m(x)\). Já que cada um dos polinomios \(p_k\) tem derivada igual a 1, pela regra do produto seguirá que

\(f'(x) = p_1'(x) p_2(x)\cdots p_m(x) + p_1(x) p_2'(x)\cdots p_m(x) +\cdots +p_1(x) p_2(x)\cdots p_m'(x)\)

\(f'(x) =  p_2(x)\cdots p_m(x) + p_1(x) p_3(x)\cdots p_m(x) +\cdots +p_1(x) p_2(x)\cdots p_{m-1}(x)\)

A parcela \(p_2(x)p_3(x) \cdots p_m(x)\) pode ser escrita como:
\(p_2(x)p_3(x) \cdots p_m(x) = \dfrac{p_1(x)p_2(x)p_3(x) \cdots p_m(x)}{p_1(x)} = \dfrac{f(x)}{p_1(x)}\)
E analogamente o mesmo pode ser feito nas demais parcelas. Isso implica que

\(f'(x) =  \dfrac{f(x)}{p_1(x)}+\dfrac{f(x)}{p_2(x)} +\cdots +\dfrac{f(x)}{p_m(x)}\)
\(f'(x) = f(x) \left( \dfrac 1{p_1(x)} + \dfrac{1}{p_2(x)} + \cdots  +\dfrac{1}{p_m(x)} \right)\)
\(\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \left( \dfrac 1{p_1(x)} + \dfrac{1}{p_2(x)} + \cdots  +\dfrac{1}{p_m(x)} \right)\)
\(\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \displaystyle \sum_{r = 1}^m \dfrac{1}{p_r(x)} = \sum_{r = 1}^m \dfrac 1{x - x_r}\)
Isso mostra a primeira afirmação


O mesmo cálculo mostra a segunda afirmaçao. Mas também da pra deduzir a partir da primeira. Vou fazer dessa última forma:

\( \displaystyle f'(x) = \sum_{r = 1}^m \dfrac {f(x)}{x - x_r} \implies f''(x)  = \sum_{r= 1}^m \dfrac{f'(x)}{x-x_r} - \dfrac{f(x)}{(x-x_r)^2} \implies \)

\(\displaystyle f''(x) = \sum_{r = 1}^m \sum_{s = 1}^m \dfrac{ f(x)}{(x-x_r)(x-x_s)}  - \sum_{r = 1}^m \dfrac{f(x)}{(x-x_r)^2} \)

Dividindo o primeiro somatório em 3 somas temos:

\(\displaystyle f''(x) = \sum_{r = 1}^m \sum_{s = 1}^{r-1} \dfrac{ f(x)}{(x-x_r)(x-x_s)} + \sum_{r = 1}^m \sum_{s = r+1}^{m} \dfrac{ f(x)}{(x-x_r)(x-x_s)} + \cancel{\sum_{r = 1}^m \sum_{s = r}^{r} \dfrac{ f(x)}{(x-x_r)(x-x_s)}}  - \cancel{\sum_{r = 1}^m \dfrac{f(x)}{(x-x_r)^2}} \)

\( \displaystyle f''(x) =2 \sum_{r = 1}^m \sum_{s = r+1}^{m} \dfrac{ f(x)}{(x-x_r)(x-x_s)}   \)

\(\displaystyle \dfrac{ f''(x)}{f(x)} = \sum_{r = 1}^m \sum_{s = r+1}^{m} \dfrac{ 2}{(x-x_r)(x-x_s)}   \)