Valores de x e y para o máximo da expressão

por Zeis Qua 21 Dez 2022, 15:51

1. Calcule os valores de x e y para que a expressão [latex]x^py^q [/latex]seja máxima, sendo x+y= a (constante). O resultado é [latex]\frac{x}{y}=\frac{p}{q}[/latex]. Isso é por derivada?

por **gilberto97** Sex 23 Dez 2022, 16:11

Boa tarde.

Seja N = (x^p)(y^q)

x + y = a --> y = a - x

Por derivada:

dN/dx = 0 --> valor máximo de N

d(x^p)(y^q)/dx = p*x^(p-1)*(y^q) + (x^p)*q*y^(q-1)*y' = 0

Mas y' = dy/dx = d(a-x)/dx = -1:

p*x^(p-1)*(y^q) - (x^p)*q*y^(q-1) = 0

p*x^(p-1)*(y^q) = (x^p)*q*y^(q-1)

x^(p-1) / x^p * y^q / (y^(q-1)) = q/p

x/y = p/q

Não pensei em uma forma sem derivada, estou enferrujado Razz