Valores Máximo e Mínimo

por Wederson Carvalho Sex 07 Fev 2014, 15:53

Os valores máximo e mínimo da função f (x,y,z)=x+y+z, sujeita a restrição x²+y²+z²=25 são:

por **Giovana Martins** Qui 14 Nov 2024, 20:25

Dada a esfera x² + y² + z² = 25, seja a parametrização:

\[\mathrm{x=5sin(\theta)cos(\phi)}\]

\[\mathrm{y=5sin(\theta)sin(\phi)}\]

\[\mathrm{z=5cos(\theta)}\]

Com 0 ≤ θ ≤ 2∏ e 0 ≤ ϕ ≤ 2∏.

Deste modo, podemos escrever f(x,y,z) = x + y + z como:

\[\mathrm{f(\theta,\phi)=5[sin(\theta)cos(\phi)+sin(\theta)sin(\phi)+cos(\theta)]}\]

\[\mathrm{f(\theta,\phi)=5 \left\{ sin(\theta) [cos(\phi)+sin(\phi)]+cos(\theta)\right\}}\]

Por Prostaférese (também conhecido por fórmulas de Werner):

\[\mathrm{cos(\phi)+sin(\phi)=\sqrt{2}sin\left ( \phi +\frac{\pi}{4} \right )}\]

Tal que:

\[\mathrm{f(\theta,\phi)=5\left [ \sqrt{2}sin(\theta)sin\left ( \phi +\frac{\pi}{4} \right )+cos(\theta) \right ]}\]

É sabido que:

\[\mathrm{-1\leq sin\left ( \phi +\frac{\pi}{4} \right )\leq 1}\]

Para minimizar f(θ,ϕ) minimizemos, inicialmente, f(θ,ϕ) em relação à variável ϕ e posteriormente em relação à variável θ.

Assim:

\[\mathrm{sin\left ( \phi +\frac{\pi}{4} \right )=-1\to [f(\theta)]_{min}=5\left [ cos(\theta)-\sqrt{2}sin(\theta) \right ]}\]

Agora, utilizarei a Desigualdade de Cauchy - Schawrz para minimizar f(θ) em relação à variável θ.

\[\mathrm{ \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _i^2 \right ) \left ( \sum_{i=1}^{n}\beta _i^2 \right )\geq \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha _i\beta _i \right )^{2}}\]

\[\mathrm{\left [ (5)^2+(-5\sqrt{2})^2 \right ]\cdot \left [ cos^2(\theta)+sin^2(\theta) \right ]\geq [5cos(\theta)-5\sqrt{2}sin(\theta)]^2}\]

\[\mathrm{-5\sqrt{3}\leq f(\theta)\leq 5\sqrt{3}}\]

\[\mathrm{\boxed{\mathrm{-5\sqrt{3}\leq f(x,y,z)\leq 5\sqrt{3}}}}\]

por **Giovana Martins** Qui 14 Nov 2024, 20:36

Dá para resolver usando vetores também, embora seja algo um pouco mais abstrato.

Inicialmente, vou escrever f(x,y,z) como um produto escalar entre os vetores k(x,y,z) e u(1,1,1):

\[\mathrm{f(x,y,z)=\overset{\to }{k}\cdot \overset{\to }{u}}\]

A ideia é maximizar o produto escalar com a restrição |k| = 5.

Do produto escalar tem-se:

\[\mathrm{f(x,y,z)=f(\theta)=\left|\overset{\to }{k} \right|\left|\overset{\to }{u} \right|cos(\theta)}\]

\[\mathrm{f(x,y,z)=f(\theta)=\left ( \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right )\left ( \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} \right )cos(\theta)}\]
\[\mathrm{f(x,y,z)=f(\theta)=5\sqrt{3}cos(\theta)}\]

Quando os vetores k e u estão no mesmo sentido, θ = 0°, o que acarreta cos(θ) = 1 e, portanto, f(x,y,z) = 5√3, que é o valor máximo.

Quando os vetores k e u estão em sentidos opostos, θ = 180°, o que acarreta cos(θ) = -1 e, portanto, f(x,y,z) = -5√3, que é o valor mínimo.