AIME - Combinatória de eventos disjuntos
2 participantes
Página 1 de 1
AIME - Combinatória de eventos disjuntos
por botelhowski Qua 14 Set 2022, 00:26
(AIME) Uma gaveta contém uma mistura de meias vermelhas e meias azuis, no máximo 1991 ao todo. Quando duas meias são selecionadas aleatoriamente sem reposição, existe uma probabilidade de 1/2 de ambas serem azuis ou ambas serem vermelhas. Qual é o maior número possível de meias vermelhas na gaveta que é consistente com essa afirmação?
Gab: 990
Gab: 990
botelhowski- Padawan
- Mensagens : 51
Data de inscrição : 10/03/2021
Idade : 21
Localização : Curitiba - PR
Re: AIME - Combinatória de eventos disjuntos
por catwopir Qua 14 Set 2022, 09:30
Opa, bom dia.
OBS: Essa solução não é minha.
Seja V a quantidade de meias vermelhas e A a Qtd de azuis
e tome T=V+A <- quantidade de meia. (A=T-V)
retirando duas meias consecutivas e ambas serem azuis é dada por essa expressão:
[latex]\frac{A(A-1)}{(A+V)(A+V-1)}[/latex]
Idem pras vermelhas:
[latex]\frac{V(V-1)}{(A+V)(V+A-1)}[/latex]
a soma disso terá que dá 1/2
[latex]\frac{A(A-1)}{(A+V)(A+V-1)}+\frac{V(V-1)}{(A+V)(V+A-1)}=\frac{1}{2}[/latex]
trocando o que dá pra trocar:
[latex]\frac{(T-V)(T-V-1)+V^2-V}{T(T-1)}=\frac{1}{2}[/latex]
(T²-TV-T-TV+V²+V+V²-V)2=T²-T
2T²-4TV-2T+4V²=T²-T
4V²-4TV+T²-T=0
[latex]V^2-TV+\frac{T(t-1)}{4}=0[/latex]
Achando o valor de V, temos:
[latex]V=\frac{T\pm \sqrt{T}}{2}[/latex]
Como trata-se de meias, temos que V;T e A∈N
então, temos que √T∈N -> √T=n
[latex]V=\frac{n^2\pm n}{2}\rightarrow V=\frac{n(n\pm 1)}{2}[/latex]
Pelo enunciado, temos: T≤1991 -> n²≤1991, como a questão pede o valor máximo, é fácil concluir que N vale 44, pois 44²=1936, substituindo.
[latex]V=\frac{44(44\pm 1)}{2} \rightarrow V=990[/latex]
Essa questão é muito delicada e isso a fazer ser muito elegante.
OBS: Essa solução não é minha.
Seja V a quantidade de meias vermelhas e A a Qtd de azuis
e tome T=V+A <- quantidade de meia. (A=T-V)
retirando duas meias consecutivas e ambas serem azuis é dada por essa expressão:
[latex]\frac{A(A-1)}{(A+V)(A+V-1)}[/latex]
Idem pras vermelhas:
[latex]\frac{V(V-1)}{(A+V)(V+A-1)}[/latex]
a soma disso terá que dá 1/2
[latex]\frac{A(A-1)}{(A+V)(A+V-1)}+\frac{V(V-1)}{(A+V)(V+A-1)}=\frac{1}{2}[/latex]
trocando o que dá pra trocar:
[latex]\frac{(T-V)(T-V-1)+V^2-V}{T(T-1)}=\frac{1}{2}[/latex]
(T²-TV-T-TV+V²+V+V²-V)2=T²-T
2T²-4TV-2T+4V²=T²-T
4V²-4TV+T²-T=0
[latex]V^2-TV+\frac{T(t-1)}{4}=0[/latex]
Achando o valor de V, temos:
[latex]V=\frac{T\pm \sqrt{T}}{2}[/latex]
Como trata-se de meias, temos que V;T e A∈N
então, temos que √T∈N -> √T=n
[latex]V=\frac{n^2\pm n}{2}\rightarrow V=\frac{n(n\pm 1)}{2}[/latex]
Pelo enunciado, temos: T≤1991 -> n²≤1991, como a questão pede o valor máximo, é fácil concluir que N vale 44, pois 44²=1936, substituindo.
[latex]V=\frac{44(44\pm 1)}{2} \rightarrow V=990[/latex]
Essa questão é muito delicada e isso a fazer ser muito elegante.
catwopir- Fera
- Mensagens : 538
Data de inscrição : 08/08/2021
Idade : 21
Tópicos semelhantes» AIME-01 - Probabilidade
» Conjuntos não disjuntos
» AIME) Probabilidade
» Área - (Aime-95)
» (AIME) Equação
» Conjuntos não disjuntos
» AIME) Probabilidade
» Área - (Aime-95)
» (AIME) Equação
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
