(AIME) Equação
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(AIME) Equação
por Eduardo071 Sáb 21 Ago 2021, 20:28
Seja p(x) um polinômio cúbico. Qual é o maior valor de K para o qual os polinômios x²-(k-29)x-k e 2x²+(2k-43)x+k são ambos fatores de p(x)?
s/gab
s/gab
Eduardo071- Iniciante
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Re: (AIME) Equação
por Elcioschin Sáb 21 Ago 2021, 21:37
P(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d
x² - (k - 29).x - k = 0 ---> calcule as duas raízes
2.x² + (2.k - 43).x + k = 0 ---> calcule as duas raízes
As raízes encontradas deverão ser raízes de P(x)
x² - (k - 29).x - k = 0 ---> calcule as duas raízes
2.x² + (2.k - 43).x + k = 0 ---> calcule as duas raízes
As raízes encontradas deverão ser raízes de P(x)
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: (AIME) Equação
por SilverBladeII Dom 22 Ago 2021, 03:11
sendo o polinomio cubico, temos duas opções: os dois polinômios são múltiplos "escalares" (por falta de palavra melhor) um do outro ou eles compartilham exatamente uma raiz.
no primeiro caso,
2(x²-(k-29)x-k)=2x²+(2k-43)+k
então 2k-58=2k-43, absurdo, então não há sol para esse caso.
dessa forma, os polinomios compartilham exatamente uma raiz, digamos r.
Por girard, no primeiro polinomio, temos
r*x=-k
e no segundo
r*y=k/2,
portanto x=-2y
assim
r+x=r-2y=k-29
e
r+y=-k+43/2,
obtemos 3r=-k+14
e
3y=-2k+101/2
portanto
ry=(-k+14)(-2k+101/2)/9=k/2
resolve essa equaçãozinha de segundo grau em k e pega o maior valor e tá feito
no primeiro caso,
2(x²-(k-29)x-k)=2x²+(2k-43)+k
então 2k-58=2k-43, absurdo, então não há sol para esse caso.
dessa forma, os polinomios compartilham exatamente uma raiz, digamos r.
Por girard, no primeiro polinomio, temos
r*x=-k
e no segundo
r*y=k/2,
portanto x=-2y
assim
r+x=r-2y=k-29
e
r+y=-k+43/2,
obtemos 3r=-k+14
e
3y=-2k+101/2
portanto
ry=(-k+14)(-2k+101/2)/9=k/2
resolve essa equaçãozinha de segundo grau em k e pega o maior valor e tá feito
SilverBladeII- Matador
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