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(AIME) Equação

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Mensagem por Eduardo071 Sáb 21 Ago 2021, 20:28

Seja p(x) um polinômio cúbico. Qual é o maior valor de K para o qual os polinômios x²-(k-29)x-k e 2x²+(2k-43)x+k são ambos fatores de p(x)?
s/gab

Eduardo071
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Mensagem por Elcioschin Sáb 21 Ago 2021, 21:37

P(x) = a.x³ + b.x² + c.x + d

x² - (k - 29).x - k = 0 ---> calcule as duas raízes

2.x² + (2.k - 43).x + k = 0 ---> calcule as duas raízes

As raízes encontradas deverão ser raízes de P(x)
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Mensagem por SilverBladeII Dom 22 Ago 2021, 03:11

sendo o polinomio cubico, temos duas opções: os dois polinômios são múltiplos "escalares" (por falta de palavra melhor) um do outro ou eles compartilham exatamente uma raiz.
no primeiro caso, 
2(x²-(k-29)x-k)=2x²+(2k-43)+k
então 2k-58=2k-43, absurdo, então não há sol para esse caso.


dessa forma, os polinomios compartilham exatamente uma raiz, digamos r.

Por girard, no primeiro polinomio, temos
r*x=-k
e no segundo
r*y=k/2,
portanto  x=-2y
assim
r+x=r-2y=k-29
e
r+y=-k+43/2,
obtemos 3r=-k+14
e
3y=-2k+101/2
portanto
ry=(-k+14)(-2k+101/2)/9=k/2
resolve essa equaçãozinha de segundo grau em k e pega o maior valor e tá feito
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