AIME) Probabilidade

A) Uma moeda justa é lançada dez vezes. Ache a probabilidade não ocorrem duas caras consecutivas

Gabarito = 9/64

Pensei nessa ideia por recorrência. Outros membros, fiquem à vontade para criar novas soluções.

Suponha n lançamentos, qual a probabilidade \(P_n\) de não ocorrerem duas caras consecutivas?

i) Se ao lançarmos a primeira moeda obtivemos uma coroa (chance de 1/2), então a próxima moeda pode ser tanto cara como coroa, assim caímos no próximo lançamento no caso \(P_{n-1}\)

ii) Se ao lançarmos a primeira moeda obtivemos uma cara (chance de 1/2), então a próxima moeda deve ser necessariamente coroa (chance de 1/2). Depois, no próximo lançamento, caímos no caso \(P_{n-2}\).

Ora, os casos i e ii são os únicos possíveis para nossa situação, dessa forma, montamos a lei de recorrência abaixo:

\[\displaystyle P_{n}=\frac{P_{n-1}}{2} + \frac{P_{n-2}}{4}\]

Podemos ver facilmente que \(P_1=1\) e \(P_2=3/4\). Como n=10 é relativamente baixo, não é necessário resolver a recorrência, basta substituirmos valores:

- Para \(P_3\):
  \(
  P_3 = \frac{P_2}{2} + \frac{P_1}{4} = \frac{3/4}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{5}{8}
  \)

 Seguindo com o raciocínio:

- \(P_4 = \frac{1}{2}\)
- \(P_5 = \frac{13}{32}\)
- \(P_6 = \frac{21}{64}\)
- \(P_7 = \frac{17}{64}\)
- \(P_8 = \frac{55}{256}\)
- \(P_9 = \frac{89}{512}\)
- \(P_{10} = \frac{9}{64}\)

Assim, seguindo a recorrência passo a passo, chegamos ao valor de \(\fbox{$\displaystyle P_{10} = \frac{9}{64}$}\).

Só por curiosidade, como trata-se de uma recorrência linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, podemos encontrar uma solução analítica usando o polinômio característico: 

\[x^2=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\]

Cuja solução nos dá:

\[
P[n] = \frac{-5 \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5}}{4}\right)^n + \sqrt{5} \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{5}}{4}\right)^n + 10 \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}\right)^n + 4 \sqrt{5} \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4}\right)^n}{5 (1 + \sqrt{5})}
\]

Caso desconheça como se encontra a solução aqui está um jeito: https://www.youtube.com/watch?v=MuLxDG-MZIU&ab_channel=ProgramadeInicia%C3%A7%C3%A3oCientificadaOBMEP