Sistemas de equações trigonométricas

por Romanelo Seg 20 Jun 2022, 11:40

Os pontos A= (x1;y1) e B= (x2,y2) são soluções do sistema de equações
sen(X + Y) + sen(X - Y) = 2
senX + cosY = 2
, em que X e Y ∈ [0,2π]. A distância desde A até B é:

Sistemas de equações trigonométricas KW9q0aJFixZNvBvDpUWLFi1atLwTgP8HQcfNQQDt7msAAAAASUVORK5CYII=

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gabarito: 2π

por **qedpetrich** Seg 20 Jun 2022, 12:01

Olá Romanelo;

Desenvolvendo o sistema formado:

sen(x+y) = senxcosy + senycosx
sen(x-y) = senxcosy - senycosx

sen(x+y) + sen(x-y) = 2senxcosy = 2 .:. senxcosy = 1 → senx = 1/cosy

senx + cosy = 2 → senx + 1/senx = 2 → sen²x - 2senx + 1 = 0
sen²x - 2senx + 1 = (senx - 1)² = 0 → senx = 1 .:. x = pi/2

cosy = 1 → y = 0 ou y = 2pi

As soluções são:

A = (pi/2, 0)
B = (pi/2 , 2pi)

Distância de A até B:

dAB = √[(pi/2-pi/2)² + (2pi-0)²] → dAB = 2pi

por **Elcioschin** Seg 20 Jun 2022, 12:14

Uma solução alternativa:

sen(x + y) + sen(x - y) = 2

O valor máximo da função seno é 1
Para a soma de dois senos valer 2 existe apenas uma possibilidade:

x + y = pi/2
x - y = pi/2
--------------
2.x = pi ---> x = pi/2

senx + cosy = 2 ---> sen(pi/2) + cosy = 2 ---> cosy = 1 ---> y = 0 ou y = 2.pi