Sistemas de equações trigonométricas

por rafael252525 Sáb 21 Mar 2015, 12:52

Considere a e b números reais satisfazendo ao sistema de equações:

sen(a) + sen(b) = (raiz de 2)/2
cos(a) + cos(b) = (raiz de 6)/2

Determine o valor de sen(a+b):

alternativas: a)1/2 b)(raiz de 2)/2 c)(raiz de 3)/2 d)(raiz de 6)/2 e)1

Eu não possuo o gabarito.

Desde já, muito obrigado.

por **Elcioschin** Sáb 21 Mar 2015, 13:18

Enunciado incompleto: qual é a pergunta???

por rafael252525 Sáb 21 Mar 2015, 13:21

Já editei, me perdoe por esse terrível erro.

por **Carlos Adir** Sáb 21 Mar 2015, 13:52

$\begin{cases}sen \ a + sen \ b = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ cos \ a + cos \ b = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}sen^2 \ a + 2sen \ a \cdot sen \ b + sen^2 \ b = \dfrac{1}{2} \\ cos^2 \ a + 2 cos \ a \cdot cos \ b + cos^2 \ b = \dfrac{3}{2} \end{cases}$

Somando, obtemos:
$\\ {\color{Red} sen^2 \ a} + 2 sen \ a \cdot sen \ b + {\color{Blue} sen^2 \ b} = \dfrac{1}{2} \\ {\color{Red} cos^2 \ a} + 2cos \ a \cdot cos \ b + {\color{Blue} cos^2 \ b} = \dfrac{3}{2} \\ {\color{Red} 1} + 2 sen \ a \cdot sen \ b + 2 cos \ a \cdot cos \ b + {\color{Blue} 1} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2} \\ 2 \left(cos \ a \cdot cos \ b + sen \ a \cdot sen \ b \right ) =0 \\ cos \left(a-b \right ) =0 = cos \ \dfrac{\pm \pi}{2} \Rightarrow a-b = \pm \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow a = b \pm \dfrac{\pi}{2}$
Devemos achar sen (a+b)
$sen \left(a + b \right ) = sen \left(b \pm \dfrac{\pi}{2} + b \right ) = sen \left(2b \pm \dfrac{\pi}{2} \right ) = cos \left(2b \right )$

Agora devemos achar o cosseno de 2b:
$\\ sen \ a + sen \ b = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow sen \left(b \pm \dfrac{\pi}{2} \right )+ sen \ b = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \pm cos \ b + sen \ b = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow sen^2 \ b \pm 2 sen \ b \cdot cos \ b + cos^2 \ b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \pm sen \left(2b \right )=\dfrac{-1}{2} \Rightarrow sen^2 \left(2b \right ) = \dfrac{1}{4} \\ \Rightarrow cos^2 \left(2b \right )=1- sen^2 \left(2b \right ) \Rightarrow cos \left(2b \right )=\pm \sqrt{1-\dfrac{1}{4}} \Rightarrow cos \left(2b \right )=\dfrac{\pm \sqrt{3}}{2}$

Agora realize alguns testes e veja qual funciona.

Outra maneira é utilizar:
$\\ x = tan \ \dfrac{a}{2} \\ y = tan \ \dfrac{b}{2} \\ sen \ a = \dfrac{2x}{1+x^2} \\ cos \ a = \dfrac{1-x^2}{1+x^2}$
Agora, aplicando no sistema de equações:
$\begin{cases}\dfrac{2x}{1+x^2}+\dfrac{2y}{1+y^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \dfrac{1-x^2}{1+x^2}+\dfrac{1-y^2}{1+y^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \end{cases}$

E do mesmo modo sairá a resposta.

por **Elcioschin** Sáb 21 Mar 2015, 16:15

Outro modo mais rápido:

sena + senb = √2/2 ----> I
cosa + cosb = √6/2 ----> II

Usando transformação de soma em produto (Prostaférese)

I ---> 2.sen[(a + b)/2].cos[(a - b)/2] = √2/2 ---> III
II ---> 2.cos[(a + b)/2].cos[(a - b)/2] = √6/2 ---> IV

III/IV ---> tg[(a + b)/2] = √2/√6 ---> tg[(a + b)/2] = √3/3 ---> (a + b)/2 = 30º ---> a + b = 60º

sen(a + b) = sen60º ---> sen(a + b) = √3/2