Período da função seno (forma analítica)

por fipswOw Ter 29 Mar 2022, 12:06

Olá, amigos!

Como calcular o período da função f(x) = sen⁴(x) de forma analítica?

Pensei da seguinte forma:
[latex]f(x) = 0 \Leftrightarrow \sin^{4}(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt[4]{\sin^{4}(x)} = \sqrt[4]{0} \Rightarrow |sin (x)| = 0 \Rightarrow sin(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \vee x = \pi \vee x = 2\pi [/latex]

Penso que o período seja p = 2π, o que vai contra a alternativa correta, que é p = π. Alguém poderia me corrigir, mostrando o erro do meu raciocínio?

Boa tarde a todos!

por **Elcioschin** Ter 29 Mar 2022, 12:45

Na primeira volta a função seno é positiva no 1º e 2º quadrante (0 a pi) e negativa no 3º e 4º quadrantes (pi a 2pi): período = 2.pi

Quando se eleva a função ao quadrado, além de mudar alguns valores, a parte negativa fica positiva, idêntica à parte positiva original.

E, se elevar de novo ao quadrado (fica com expoente 4) ocorre algo similar.

Logo, a repetição ocorre entre pi e 2.pi ---> o período é pi

por fipswOw Ter 29 Mar 2022, 13:26

Obrigado, mestre!

por **Giovana Martins** Qui 31 Mar 2022, 20:55

Outro jeito.

Sejam h(x) e t(x) funções periódicas de períodos, respectivamente, iguais a P_h(x)=a e P_t(x)=b, P_h(x)≠P_t(x).

Teorema: Se P_h(x)/P_t(x)=a/b, com a, b ∈ ℤ₊ e primos entre si, então as funções u(x)=h(x)+t(x) e w(x)=h(x)t(x) são periódicas de período P_u(x)=P_w(x)=bP_h(x)=aP_t(x).

[latex]\\\mathrm{f(x)=sin^4(x)=[sin^2(x)]^2=\left [ \frac{1-cos(2x)}{2} \right ]^2=\frac{1-2cos(2x)+cos^2(2x)}{4}}\\\\\mathrm{f(x)=sin^4(x)=\frac{1}{4}\left [ 1-2cos(2x) +\frac{1+cos(4x)}{2}\right ]=\frac{3+\underset{h(x)}{\underbrace{\mathrm{cos(4x)}}}-2\underset{t(x)}{\underbrace{\mathrm{cos(2x)}}}}{8}}\\\\\mathrm{P_{h(x)}=\frac{\pi }{2}\ \wedge\ P_{t(x)}=\pi \ \therefore \ \frac{P_{h(x)}}{P_{t(x)}}=\frac{1}{2}\ \therefore \ P_{f(x)}=2P_{h(x)}=P_{t(x)}=\pi }[/latex]