Período de função

         ;        

falso         a) a função g está definida para x=3(π+2) / 2
verdade    b) o período da função f(x) é 2π
falso          c) o conjunto imagem da função f é [-4/9, 4/9]
falso        d) a função g é crescente para x ]3π+6 / 2 , 5π+6  / 2[

a) Substituindo x = 3(π+2)/2 em g(x):

\\g(\frac{3\pi}{2}+3)=\frac{1}{9}-\frac{1}{3}tg(\frac{3\pi}{2}+3-3)\\\\g(\frac{3\pi}{2}+3)=\frac{1}{9}-\frac{1}{3}tg(\frac{3\pi}{2})

Não existe tangente para ângulos múltiplos de π/2. Logo, a função não está definida para x = 3(π+2)/2.

b) De forma genérica, para f(x) = a + b.cos(c.x + d), T = 2π/c (Se for seno é igual, e se for tangente T = π/c). Para a questão, c=1 e, portanto, T = 2π.

c) Como a função cosseno varia de -1 a 1. A imagem é: 

\\\left [\frac{1}{9}-\frac{1}{3},\frac{1}{9}+\frac{1}{3}\right ]\\\\\left [\frac{-2}{9},\frac{4}{9}\right ]

d) g(x) é crescente somente se a função tangente for decrescente. 
Para x ∈ ]3π+6/2 , 5π+6/2[ , (x-3) ∈ ]3π/2 , 5π/2[. Nesse intervalo de ângulos, a tangente é crescente, variando do menos infinito até o infinito. Logo, a função g é decrescente para esse intervalo.

Outro modo:

a) x = 3.(pi + 2)/2 = 3.pi/2 + 3 --->

g[3.(pi + 2)/2] = 1/9 - (1/3).tg[(3.pi/2 + 3) - 3] = 1/9 - (1/3).tg(3.pi/2)

A função tangente não é definida para tg(pi/2) ou tg(3,pi/2) ---> Falsa

b) cos(w.x + φ) ---> w = 1 ---> 2.pi/T = 1 ---> T = 2.pi ---> verdade

c) -1 ≤ cos(x - 3) ≤ 1 --->

Valor mínimo de f(x) ---> f(x)mín = 1/9 - 1/3 = - 2/9
Valor máximo de f(x) ---> f(x)máx = 1/9 + 1/3 = 4/9

Im = [-2/9, 4/9] ---> Falso

d) Desenhe o gráfico para os pontos:

x = 3 + pi ---> f(3 + pi) = 1/9 - (1/3).(3 + pi - 3) = 1/9 - (1/3).cos(pi) = 4/9

x = 3 + 2.pi ---> f(3 + 2.pi) = 1/9 - (1/3).cos(3 + 2.pi - 3) = 4/9 - (1/3).cos(2.pi) = - 2/9

Neste trecho a função é decrescente: 4/9 ---> - 2/9 ---> Falso

Muito obrigada mesmo!

Também vim aqui agradecer, pois esse exercício é muito parecido com um que postei ontem e as resoluções também me ajudaram!!

Obrigado!