Estudo de Charles Cobb e Paul Douglas

Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelaram o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899-1922. Eles consideraram uma visão simplificada da economia em que a saída da produção é determinada pela quantidade de trabalho envolvido e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o mostrou-se bastante preciso. A função utilizada para modelar a produção era da forma:

onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos ao ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das maquinas, equipamentos e prédios).
Tambem os parametros a e b, são numeros a ser determinados por dados reais.
Cobbe douglas usaram dados econômicos publicados pelo governo para construir para ajustar os parametros do modelo (usando o metodo de minimos quadrados)
para gerar o modelo:

Verifique que, para a função de Cobb-Douglas (Equação acima) que a produção dobrara se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto tambemé verdade para uma função de produção genérica:


Alguem pode me explicar?

A questão quer que você verifique se [latex]2\cdot P(L,K) = P(2L , 2K)[/latex]. 


[latex] P(L,K) = 1,01\cdot L^{0,75}\cdot K^{0,25}[/latex]


[latex]\begin{align*} P(2L,2K) &= 1,01\cdot\left( 2L\right ) ^{0,75}\cdot \left(2K \right )^{0,25}\\~\\ &= 2^{0,75}\cdot2^{0,25}\cdot\left( 1,01\cdot L^{0,75}\cdot K^{0,25} \right )\\~\\ &= 2\cdot P(L,K) \end{align*}[/latex]


Mesma ideia para a genérica.

Qual seria a resposta?

P(L , K) = b.L^a.K^{1 - a}

P(2.L, 2.K) = b.(2.L)^a.(2.K)^{1 - a} ---> P(2.L, 2.K) = b.(2^a).L^a.(2^{1 - a}).K^{1 - a} ---> P(2.L, 2.K) = b.2.L^a.K^{1 - a} --->

P(2L , 2.K) = 2.(b.L^a.K^{1 - a}) ---> P(2.L , 2.K) = 2.P(L, K)

Agora responda vc.

Obrigado gente!!! entendi o exercicio!!!