Questão de Conjunto elemento e Pertinência

por andreas ratiner Sáb 12 Mar 2022, 01:45

Uma turma de 9º ano com 26 alunos vai realizar uma viagem de formatura. Considerando que todos os alunos participarão dessa viagem, quantos grupos será possível montar com esses 26 alunos de forma que os grupos tenham pelo menos 1 aluno?

A

26²
B

2² - 1
C
D
E

por **Elcioschin** Sáb 12 Mar 2022, 09:44

São 26 grupos com 1 aluno
São C(26, 2) com 2 alunos cada
São C(26, 13) com 13 alunos cada
São C(26, 26) = 1 grupo com 26 alunos

Tens o gabarito?

por andreas ratiner Sáb 12 Mar 2022, 21:35

Boa noite, Elcio não tenho o gabarito!

por **Rory Gilmore** Sáb 12 Mar 2022, 21:54

Existem 2²⁶ - 1 porque trata-se do número de conjuntos das partes não vazios.

por aitchrpi Sáb 12 Mar 2022, 21:54

Você pode fazer 26 grupos de 1, C(26, 2) grupos de 2, C(26, 3) grupos de 3, ..., C(26, 26) grupos de 26. Mas, pelo binômio de Newton, sabemos que

[latex](1+x)^{26} = x^{26} + {26\choose 1}x^{25} + {26 \choose 2}x^{25} + \dots + {26 \choose 25}x + {26 \choose 26}[/latex]

Se x = 1,

[latex]2^{26} = 1 + {26\choose 1} + {26 \choose 2} + \dots + {26 \choose 25} + {26 \choose 26}[/latex]

O lado direto da equação é justamente o que queríamos encontrar somado com 1. Assim, y = 2^(26) - 1, onde y é o numero de possíveis grupos. Edit: postei só porque já tinha digitado tudo, é exatamente o que a Rory disse. =)